SZEREGI LICZBOWE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg – sum częściowych: … … Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli ¶ to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany jest na ogół symbolem: . Liczby ,
… to wyrazy szeregu. Wyrazy ciągu to sumy cząstkowe szeregu . Jeżeli ciąg sum cząstkowych ∑
jest zbieżny (czyli ma skończoną granicę s) to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę s nazywamy sumą nieskończonego szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Warunek konieczny zbieżności: Jeżeli szereg ∑
jest zbieżny to lim
. Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, to znaczy jeśli dąży do zera to nie oznacza to, że szereg jest zbieżny. Szczególne rodzaje szeregów: ‐ szereg geometryczny Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy | |
1. Wówczas suma szeregu geometrycznego wyraża się wzorem: 1
Jeśli | |¥1 to szereg geometryczny jest rozbieżny. ‐ szereg harmoniczny 1
Szereg ten jest rozbieżny (mimo, że 1
1
2
1
3
dąży do 0!) 1
1
SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
‐ szereg harmoniczny rzędu a 1
gdzie a
1
2
1
1
3
1
0. Powyższy szereg jest zbieżny dla a
1, w pozostałych przypadkach jest rozbieżny. Ze względu na problem badania zbieżności szeregów dzieli się je na ogół na szeregi: ‐ o wyrazach nieujemnych, np.: 1
2
3
2
4
3
5
5
1
‐ przemienne, np.: 5
5
5
Istnieją również szeregi, które nie należą do wymienionych grup, np.: 1
1
2
3
4
5
6
7
8
Szeregi o wyrazach nieujemnych. Zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych można badać za pomocą: ‐ kryterium porównawczego: a. Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Jeżeli dla szeregu ∑
gdzie począwszy od pewnego miejsca 0, można wskazać szereg zbieżny ∑
to szereg ∑
, taki że jest również zbieżny. b. Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów Jeżeli dla szeregu ∑
gdzie począwszy od pewnego miejsca 0, można wskazać szereg rozbieżny ∑
to szereg ∑
‐ kryterium d’Alemberta Jeżeli lim
1 to szereg jest zbieżny. Jeżeli lim
1 to szereg jest rozbieżny. Jeżeli lim
1 to kryterium nie rozstrzyga. ∞
2
jest również rozbieżny. , taki że SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
‐ kryterium Raabego (warto z niego korzystać gdy kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga): Jeżeli lim
1
1 to szereg jest zbieżny. Jeżeli lim
1
1 to szereg jest rozbieżny. Jeżeli lim
1
1 tto kryterium nie rozstrzyga. ‐ kryterium Cauchy’ego: Jeżeli lim
1 to szereg jest zbieżny. Jeżeli lim
1 to szereg jest rozbieżny. Jeżeli lim
1 to kryterium nie rozstrzyga. ‐ kryterium całkowe: Szereg o wyrazie ogólnym jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego czy funkcja ma dla ∞ granicę skończoną, czy nie. Uwaga ‐ można całkę zastąpić całką oznaczoną od pewnego do ∞. Szeregi o wyrazach przemiennych. ‐ kryterium Leibniza: Jeżeli w szeregu przemiennym ∑
począwszy od pewnego miejsca bezwzględne wartości wyrazów szeregu dążą monotonicznie do 0, to znaczy jeśli spełnione są warunki: |
to szereg ∑
|
|
|, lim
0 jest zbieżny. ‐ kryterium bezwzględnej zbieżności: Jeżeli szereg ∑
Szereg ∑
|
| jest zbieżny to szereg ∑
też jest zbieżny. nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli szereg ∑
|
| jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym. 3
SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Ciąg funkcyjny to ciąg, którego wyrazami są funkcje: ,
Jeśli ,
,…,
, … ∞ to powyższy ciąg jest oczywiście ciągiem nieskończonym. Dla ciągów funkcyjnych można zdefiniować dwa rodzaje zbieżności – punktową i jednostajną. Załóżmy, że , są funkcjami określonymi na niepustym zbiorze . Szeregi funkcyjne Szereg, w którym wyrazy są funkcjami zmiennej , to znaczy szereg postaci nazywamy szeregiem funkcyjnym. Analogicznie do szeregu liczbowego szereg funkcyjny jest ciągiem sum częściowych ciągu funkcyjnego. Ponieważ szereg funkcyjny jest również ciągiem to można badać jego zbieżność (punktową i jednostajną). Szczególnym przypadkiem szeregu funkcyjnego jest szereg potęgowy. Szereg funkcyjny postaci: nosi nazwę szeregu potęgowego. 0, że dany szereg jest zbieżny Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy taką liczbę dla wartości | |
, dla wartości | |
jest rozbieżny, natomiast dla wartości szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny. Jeśli dany szereg jest zbieżny dla każdej wartości , to mówimy, że promień zbieżności natomiast szereg dla każdego 0 rozbieżny, to mówimy, że ∞. Jeśli 0. Twierdzenie Jeżeli dla danego szeregu potęgowego ∑
istnieje lim
0, . Jeśli zaś to promień zbieżności tego szeregu wynosi ∞ to 0. 4
0, to ∞. W przypadku, gdy SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Twierdzenie istnieje Jeżeli dla danego szeregu potęgowego ∑
lim
|
|
to promień zbieżności tego szeregu wynosi ∞ to 0, 0, to . Jeśli zaś ∞. W przypadku, gdy 0. Można też rozpatrywać ogólniejszą postać szeregu potęgowego: , |
który jest zbieżny dla |
, to jest dla spełniających nierówność . Twierdzenie Jeśli szereg potęgowy ∑
ma promień zbieżności , a jego suma wynosi , to szereg potęgowy z pochodnych wyrazu szeregu pierwotnego 2
ma ten sam promień zbieżności , a jego suma jest pochodną sumy szeregu pierwotnego: dla | |
Natomiast dla wartości brzegowych . mogą zachodzić trzy możliwości: 1. oba szeregi są rozbieżne, 2. oba szeregi są zbieżne, jest zbieżny, a ∑
3. szereg ∑
rozbieżny. Twierdzenie Jeżeli dwa szeregi ,
odpowiednio o promieniach zbieżności 0
min
,
0 i 0 mają tę samą sumę dla |
, to ich wszystkie współczynniki są odpowiednio równe: , , , … ,
czyli jest to ten sam szereg. 5
, …, |
, gdzie