Teoria Grafów – Wydział Matematyki 8.11.2016

Teoria Grafów – Wydział Matematyki
8.11.2016
Lista 4. Kolorowanie grafów.
1. Wyznacz liczbę chromatyczną i indeks chromatyczny grafów: Km,n , kostki Qn oraz poniższych grafów.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
b
"
b "" @
r
r @r
b
"
" bb
br
r
"
r
r
r
@
@r
r
@
@r
r
r
2. Wyznacz liczby i indeksy chromatyczne grafów platońskich. Jaki jest związek między poprawnym
kolorowaniem ścian grafów platońskich, a ich liczbą chromatyczną?
3. Uzasadnij, że dla powierzchni torusa nie zachodzi twierdzenie o 5 barwach.
4. Nie korzystając z twierdzenia o 4 barwach, wykaż, że każdy graf planarny nie zawierający trójkątów,
jest 4 kolorowalny.
5. Załóżmy, że każde państwo jest prostokątem. Czy w takim przypadku mapa jest trójkolorowalna?
6. W pewnym wielościanie stopień każdego wierzchołka jest równy 4. Ile różnych kolorów wystarczy do
prawidłowego pokolorowania ścian tego wielościanu?
7. Płaszczyznę dzielimy na części, rysując na niej kolejne proste. Ile barw potrzeba do pokolorowania
takiej mapy?
8. Pokaż, że jeżeli usunięcie dowolnego wierzchołka z grafu G zmniejsza jego liczbę chromatyczną, to
χ(G) 6 δ(G) + 1, gdzie δ(G) jest najmniejszym stopniem wierzchołka w G.
9. Wyznacz wielomiany chromatyczne grafów: Kn , K2,n oraz Cn .
10. Pokaż, że wielomian chromatyczny grafu jest iloczynem wielomianów chromatycznych spójnych składowych tego grafu. Jaki jest stopnień niezerowego jednomianu najniższego stopnia w tym wielomianie?
11. Pokaż, że dla grafu prostego o n wierzchołkach i m krawędziach współczynnik jego wielomiany chromatycznego przy k n−1 wynosi −m.
12. Pokaż, że: PG (k) = k(k − 1)n−1 ⇐⇒ G jest drzewem o n wierzchołkach.
13. Ala chodzi na francuski, angielski i fiński: Bartek na francuski, niemiecki i litewski; Czarek na angielski,
hiszpański i włoski; Darek na niemiecki, fiński i perski; Eryk na niemiecki, litewski i perski, Fryderyk
na angielski, hiszpański i niemiecki. Załóżmy, że każda lekcja trwa godzinę.
a) Ile godzin potrzeba, aby każdy mógł pójść na wszystkie wybrane języki?
b) Ile sal potrzeba, aby zorganizować te zajęcia?
c) Na ile sposobów można ułożyć harmonogram tych zajęć?
14. Uzasadnij, że indeks chromatyczny grafu Petersena wynosi 4 i wywnioskuj stąd, że graf ten nie jest
hamiltonowski.
15. Uzasadnij, że indeks chromatyczny grafu regularnego stopnia r o nieparzystej liczbie wierzchołków
wynosi r + 1.
16. Pokaż, że dla dowolnego grafu prostego G = (V, E) zachodzą nierówności:
(
)
|E|
χ(G)
′
a) χ (G) >
;
b) |E| >
;
c) |V | 6 χ(G)χ(G);
⌊|V |/2⌋
2
gdzie G = (V, P2 (V ) \ E) jest grafem dopełniczym do G. W każdym przypadku podaj przykład grafu
G, dla którego zachodzi równość.
1/1