Wykªad 07 (szeregi c.d.) Dowód Przykªady

Wykªad 07 (szeregi c.d.)
Tw. 7.1. (kryteria rozbie»no±ci)
Szereg a1 + a2 + . . . o skªadnikach dodatnich, czyni¡cych zado±¢ jednej z nierówno±ci:
an+1
>1
n→∞ an
lim
lub
lim
n→∞
√
n
an > 1
jest rozbie»ny.
Dowód
W pierwszym przypadku dla dostatecznie du»ych n mamy an+1 > an i ci¡g (an ) jest (dla dostatecznie du»ych n) ci¡giem rosn¡cym o wyrazach dodatnich. W drugim przypadku dla dostatecznie
du»ych n mamy an > 1. W obu wi¦c przypadkach ci¡g an nie jest zbie»ny do 0, co jest warunkiem
∞
P
koniecznym zbie»no±ci szeregu
an (twierdzenie 6.2).
n=1
√
= 1 ( lim n an = 1)
n→∞
to mówimy, »e szereg nie reaguje na kryterium d'Alemberta (odpowiednio kryterium Cauchy'ego).
an+1
n→∞ an
Def. 7.1. Je±li dla szeregu a1 + a2 + . . . o wyrazach dodatnich mamy lim
Przykªady
1. Dla c > 0 szereg
an =
cn
n!
∞
P
n=1
cn
n!
jest zbie»ny na mocy kryterium d'Alemberta, oznaczaj¡c bowiem
dla ka»dego n mamy an > 0 oraz
an+1
cn+1 n!
c
=
=
an
(n + 1)! cn
n+1
czyli
an+1
c
= lim
= 0 < 1.
n→∞ an
n→∞ n + 1
lim
2. Szereg
∞
P
n=1
n!
nn
jest zbie»ny na mocy kryterium d'Alemberta, oznaczaj¡c bowiem an =
n!
nn
dla
ka»dego n mamy an > 0 oraz
an+1
(n + 1)! nn
(n + 1)!
nn
nn
nn
1
n ,
=
=
=
(n
+
1)
=
=
n+1
n+1
n+1
n
an
(n + 1)
n!
n! (n + 1)
(n + 1)
(n + 1)
1 + n1
a st¡d:
lim
n→∞
an+1
1
1
= < 1.
=
1 n
an
e
lim 1 + n
n→∞
3. Przykªady 1 i 2 oraz twierdzenie 6.1 (na mocy którego wyraz ogólny szeregu zbie»nego d¡»y
do zera) daj¡ jako wniosek równo±ci
cn
=0
n→∞ n!
lim
i
1
n!
= 0.
n→∞ nn
lim
4. Szereg harmoniczny
∞
P
n=1
bowiem
jak i szereg
1
n,
∞
P
n=1
1
n2
n
=1
n→∞ n + 1
lim
nie reaguj¡ na kryterium d'Alemberta, mamy
n2
= 1.
n→∞ (n + 1)2
i
lim
Jak wykazali±my na poprzednim wykªadzie, pierwszy z tych szeregów jest rozbie»ny, drugi za±
zbie»ny.
5. Szereg
∞
X
|x(x − 1) . . . (x − n + 1)|
n!
n=1
cn ,
0 < c < 1,
jest zbie»ny na mocy kryterium d'Alemberta, oznaczaj¡c bowiem jego wyraz ogólny przez an
mamy
| x − 1|
an+1
|x − n|
lim
= c lim
= c lim n 1 = c < 1.
n→∞ an
n→∞ n + 1
n→∞ 1 +
n
6. Oznaczaj¡c an =
np
cn ,
p ∈ N, c > 1, dla ka»dego n mamy an > 0 i
an+1
1
= lim
n→∞ an
c n→∞
lim
n+1
n
Wnioskujemy st¡d o zbie»no±ci szeregu
∞
P
n=1
7. Oznaczaj¡c an =
n
n+1
lim
n→∞
n2
√
n
p
=
np
cn
1
c
n+1
n→∞
n
p
=
lim
1
< 1.
c
np
n
n→∞ c
oraz o równo±ci lim
= 0.
mamy
an = lim
n→∞
n
n+1
n
=
1
1
=
< 1.
1 n
e
lim 1 + n
n→∞
Na mocy kryterium Cauchy'ego wnioskujemy wi¦c o zbie»no±ci szeregu
n 2
n
równo±ci lim n+1
= 0.
∞ P
n=1
n
n+1
n2
oraz o
n→∞
Szeregi bezwzgl¦dnie zbie»ne
Def. 7.2. Szereg
∞
P
an nazywamy szeregiem
bezwzgl¦dnie zbie»nym,
je±li zbie»ny jest szereg w
n=1
którym jego wyrazy zostaªy zast¡pione swoimi warto±ciami bezwzgl¦dnymi, t.j. szereg
∞
P
|an |.
n=1
Przykªadami szeregów zbie»nych bezwzgl¦dnie s¡ szereg geometryczny a + aq + aq 2 + . . . dla |q| < 1
∞ n
P
1
1
1
x
i szereg
n! . Szereg anharmoniczny, t.j. szereg 1 − 2 + 3 − 4 + . . . jest szeregiem zbie»nym, lecz
n=0
nie zbie»nym bezwzgl¦dnie. Szeregi tego typu nazywamy
2
zbie»nymi warunkowo.
Oznaczmy sn = a1 + a2 + . . . + an oraz tn = |a1 | + |a2 | + . . . + |an |. Niech n2 > n1 . Mamy wówczas:
|sn2 − sn1 | = |an1 +1 + . . . + an2 | 6 |an1 +1 | + . . . + |an2 | = tn2 − tn1 = tn2 − tn1 .
∞
P
Przyjmujemy obecnie (zaªo»enie), »e szereg
|an | jest bezgl¦dnie zbie»ny. Oznacza to, »e ci¡g tn
n=1
jest zbie»ny, jest wi¦c ci¡giem Cauchy'ego. Z nierówno±ci powy»ej wnioskujemy, »e tak»e i ci¡g sum
cz¦±ciowych sn szeregu a1 + a2 + . . . musi by¢ ci¡giem Cauchy'ego. Dowodzi to jego zbie»no±ci a
tym samym (z denicji) zbie»no±ci samego szeregu. Co wi¦cej, nierówno±¢
|sn | = |a1 + a2 + . . . + an | 6 |a1 | + |a2 | + . . . + |an | = tn
i twierdzenie 5.2 daj¡
∞
∞
X
X
|an |.
an = lim sn = lim |sn | 6 lim tn =
n→∞
n→∞
n→∞
n=1
n=1
Udowodnili±my tym samym:
Tw. 7.2 Szereg bezwzgl¦dnie zbie»ny jest szeregiem zbie»nym. Zachodzi nierówno±¢:
∞
∞
X
X
ak 6
|ak |
k=1
(7.1)
k=1
Twierdzenie 7.2 i przykªad 5 powy»ej pokazuj¡, »e dla dowolnych x ∈ R i dla c ∈ (−1, 1) szereg
∞
X
x(x − 1) . . . (x − n + 1)
n!
n=1
cn
jest zbie»ny.
Def. 7.3. Przez
ci¡gu liczb naturalnych rozumiemy taki ci¡g m1 , m2 , . . . , w którym
ka»da liczba naturalna wyst¦puje dokªadnie jeden raz.
permutacj¦
Podamy teraz dwa twierdzenia dotycz¡ce przestawiania (permutacji) wyrazów szeregu.
Tw. 7.3. Je±li szereg a1 + a2 + . . . jest bezwzgl¦dnie zbie»ny i m1 , m2 , . . . jest permutacj¡ ci¡gu
liczb naturalnych, to szereg am1 + am1 + . . . jest bezwzgl¦dnie zbie»ny i
∞
X
n=1
an =
∞
X
amn .
n=1
Innymi sªowy: szereg bezwzgl¦dnie zbie»ny jest PRZEMIENNY
Tw. 7.4. (Riemann). Maj¡c dany szereg warunkowo zbie»ny, mo»na przez zmian¦ porz¡dki jego
skªadników uzyska¢ szereg rozbie»ny lub szereg zbie»ny do dowolnie wybranej (sko«czonej lub
nie) granicy. Oczywi±cie wi¦c takie przestawianie jest niedozwolone. Innmi sªowy: szereg warunkowo
zbie»ny NIE JEST PRZEMIENNY !!! (co dzieje si¦ w odró»nieniu od szeregów bezwg¦dnie zbie»nych i oczywi±cie w odró»nieniu od ka»dej zwykªej sumy zawieraj¡cej sko«czon¡ liczb¦ skªadników
!).
3
Przykªad takiej niedozwolonej manipulacji: Oznaczymy sum¦ (warunkowo zbie»nego) szeregu anharmonicznego przez S :
1 1 1
S = 1 − + − + ...
2 3 4
Wyrazy powy»sze mo»emy pogrupowa¢ parami
1
1 1
1 1
S = (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ...
2
3 4
5 6
Nast¦pnie oryginalny szereg anharmoniczny mo»emy (niezale»nie od powy»szego) pomno»y¢ przez
1
2 otrzymuj¡c
S
1 1 1
= − + − ...
2
2 4 6
Dodaj¡c stronami (lewa do lewej, prawa do prawej) oba powy»sze szeregi i zachowuj¡c naturaln¡
kolejno±¢ skªadników dostaniemy
3S
1 2
1
1 2
= (1) + ( − ) + ( ) + ( − ) + ...
2
3 4
5
7 8
(nawiasy powy»ej s¡ dla lepszej wizualizacji). Ostatecznie jak si¦ przygl¡dn¡¢ uwa»niej to nowa
niesko«czona suma wygl¡da tak samo jak oryginalny szereg anharmoniczny tyle ,»e wyrazy s¡
poprzestawiane. Ale suma szeregu nie jest równa S ale 3S
2 . Czy nie jest to jawna sprzeczno±¢ ?.
3S
Nie jest to sporzeczno±¢ gdy» szereg o sumie 2 mimo, »e tak»e zbie»ny jest inny ni» oryginalny
szereg anharmoniczny. Wyrazy s¡ takie same, ale poustawiane s¡ w innej kolejno±ci. Takie ustawianie
kolejno±ci w przypadku szeregu warunkowo zbie»nego zmienia caªkowicie jego identyczno±¢.
Wró¢my teraz znów do szeregów bezwgl¦dnie zbie»nych.
Tw. 7.5. (Cauchy'ego) Przy zaªo»eniu, »e szeregi a1 +a2 +. . . i b1 +b2 +. . . s¡ bezwzgl¦dnie zbie»ne,
mamy
∞
X
an ·
n=1
∞
X
bn =
n=1
∞
X
cn
(7.2)
n=1
gdzie
c1 = a1 b1 ,
c2 = a1 b2 + a2 b1 ,
..
.
cn = a1 bn + a2 bn−1 + . . . + an b1 ,
czyli
cn =
n
X
ai bn+1−i
i=1
(suma indeksów ka»dego skªadnika po prawej stronie wyra»enia na cn równa jest n + 1).
4
(7.3)
Dowód
Oznaczmy
sn = a1 + . . . + an ,
tn = b1 + . . . + bn ,
i
un = c1 + . . . + cn .
Wypisuj¡c jawnie wyra»enia na c1 , c2 , . . . , cn i zmieniaj¡c kolejno±¢ skªadników mamy
un = (a1 b1 + a1 b2 + . . . + a1 bn ) + (a2 b1 + . . . a2 bn−1 ) + . . . + an b1
= a1 tn + a2 tn−1 + . . . + an t1 .
Mamy tak»e
sn tn = (a1 + a2 + . . . + an )tn = a1 tn + a2 tn + . . . + an tn
a st¡d
|sn tn − un | = |a2 (tn − tn−1 ) + . . . ak (tn − tn−k+1 ) + ak+1 (tn − tn−k ) + . . . + an (tn − t1 )|
6 |a2 ||tn − tn−1 | + |a3 ||tn − tn−2 | + . . . + |ak ||tn − tn−k+1 |
(7.4)
+ |ak+1 ||tn − tn−k | + . . . + |an−1 ||tn − t2 | + |an ||tn − t1 |.
Szereg b1 + b2 + . . . jest (na mocy zaªo»enia i twierdzenia 7.2) szeregiem zbie»nym, ci¡g jego sum
cz¦±ciowych jest wi¦c ci¡giem Cauchy'ego: dla dowolnego η istnieje takie N1 , »e dla n, m wi¦kszego
od N1 mamy |tn − tm | < η. Wybieraj¡c k > N1 i n > 2k (tak, by n − k + 1 > k ) mamy wi¦c
|tn − tn−1 | < η, |tn − tn−2 | < η, . . . , |tn − tn−k+1 | < η.
(7.5)
Ci¡g tn , jako ci¡g zbie»ny, jest tak»e ograniczony: istnieje taka liczba M1 , »e dla wszystkich m mamy
|tm | < M1 , a st¡d
|tn − tn−k | 6 |tn | + |tn−k | < 2M1 , . . . , |tn − t2 | < 2M1 , |tn − t1 | < 2M1 .
(7.6)
Ze zbie»no±ci szeregu |a1 | + |a2 | + . . . wynika, i» ci¡g jego reszt jest zbie»ny do zera. Dla dowolnej
η > 0 istnieje wi¦c takie N2 , »e dla k > N2 mamy
|ak+1 | + . . . + |an−1 | + |an | 6
∞
X
|am | = rk < η.
(7.7)
m=k+1
Wreszcie, ze zbie»no±ci szeregu |a1 |+|a2 |+. . . wynika, »e ci¡g jego sum cz¦±ciowych jest ograniczony:
istnieje takie M2 , »e dla wszystkich k mamy
|a2 | + |a3 | + . . . |ak | 6 |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . |ak | < M2 .
(7.8)
Dla k > max{N1 , N2 } (i n > 2k ) speªnione s¡ wszystkie cztery nierówno±ci (7.5) (7.8). Stosuj¡c
(7.5) do drugiej linijki nierówno±ci (7.4), za± (7.6) do trzeciej linijki nierówno±ci (7.4) dostajemy:
|sn tn − un | < |a2 | + |a3 | + . . . |ak | η + |ak+1 | + . . . + |an−1 | + |an | 2M1 .
(7.9)
5
Korzystaj¡c w (7.9) z nierówno±ci (7.8) i (7.7) dostajemy
(7.10)
|sn tn − un | < (M2 + 2M1 )η ≡ ε
gdzie, na mocy dowolno±ci η i dodatnio±ci liczb M1 , M2 parametr ε jest dowoln¡, dodatni¡ liczb¡
rzeczywist¡.
Nierówno±¢ (7.10) dowodzi, »e ci¡g sum cz¦±ciowych un jest zbie»ny i
∞
X
n=1
cn = lim un = lim (sn tn ) = lim sn · lim tn =
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
∞
X
n=1
an ·
∞
X
bn ,
n=1
gdzie przedostatnia równo±¢ jest konsekwencj¡ zbie»no±ci ci¡gów (sn ) i (tn ) oraz twierdzenia 4.3.
Uwaga. Je±li kolejne wyrazy ci¡gów (an ) oraz (bn ) b¦dziemy numerowali indeksem, którego warto±ci
rozpoczynaj¡ si¦ od zera, t.j.
n = 0, 1, 2, . . .
to wzór w tezie twierdzenia 7.5 przyjmie posta¢
∞
X
an ·
n=0
∞
X
bn =
n=0
∞
X
cn
n=0
gdzie
c0 = a0 b0 ,
c1 = a0 b1 + a1 b0 ,
..
.
cn = a0 bn + a1 bn−1 + . . . + an b0 ,
(suma indeksów ka»dego skªadnika po prawej stronie wyra»enia na cn równa jest n). Jest to chyba
nieco wygodniejsza reguªa (na sum¦ indeksów) ni» ta wyst¦puj¡ca we wzorze (7.3). Stosowa¢ oczywi±cie mo»emy albo jedn¡ albo drug¡ reguª¦ tak jak jest nam wygodnie.
Dodatkowe przykªady dotycz¡ce szeregów.
∞
P
1.Zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
tan( k1 ) (wszystkie wyrazy dodatnie).
k=1
Posªu»ymy si¦ nierówno±ci¡ udowodnion¡ na 4-tym wykªadzie. Dla 0 < x < π2 zachodzi sin(x) < x <
tan(x). Je»eli tak to w szczegóªno±ci zachodzi k1 < tan( k1 ). Korzystaj¡c z kryterium porównawczego
P
wnioskujemy, »e skoro szereg harmoniczny k k1 jest rozbie»nym do plus niesko«czono±ci to tym
P
bardziej rozbie»ny jest szereg k tan( k1 ).
2. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
∞
X
1
√ .
n
n=1
6
Skrzystamy (jak w poprzednim przykªadzie) znów z kryterium porównawczego dla szeregów, z nie√
równo±ci n ≤ n oraz z wynikaj¡cej z niej nierówno±ci √1n ≥ n1 . Badany szereg jest wi¦c (silnie)
rozbie»ny. (Zauwa»my, »e szereg ten nie reaguje na kryterium d'Alamberta).
3. Zbada¢ zbie»no±¢ naprzemiennego szeregu
∞
X
1
(−1)n √
n
n=1
Ten szereg jest zbie»ny. Wskazuje na to twierdzenie 6.3 (poprzedni wykªad). Po pierwsze granic¡
1
, po
ci¡gu √1n jest zero, po drugie wyrazy ci¡gu (bez znaków) s¡ dodatnie, malej¡ce √1n > √n+1
trzecie szereg jest naprzemienny. Szereg wi¦c jest zbie»ny (ale tylko warunkowo, patrz przykªad nr.2
u góry).
7