Matematyka wy»sza, ¢wiczenia, zestaw 3

Matematyka wy»sza, ¢wiczenia, zestaw 3
3.1. Prosz¦ obliczy¢ sumy szeregów
∞
P
a)
n=1
1
n(n+1) ,
∞
P
b)
1
2n
n=1
−
1
3n
,
∞
P
c)
n=1
(−1)n−1
πn
d)
n=1
Wskazówki: (a) zbie»no±¢: zastosuj kryterium porównawcze z szeregiem typu
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1 , rozpisa¢ szereg; sum¦ da si¦ wyliczy¢ wprost (skªadniki w wi¦kszo±ci si¦
(1/π) < 1
3.2. Wykaza¢, »e
23n+2
.
32n+1
1
; sama suma:
n2
redukuj¡ do zera); (b), (c), (d) wyst¦puj¡ tutaj szeregi geometryczne; (c) uwaga:
wi¦c
∞
P
3n+2 /32n+1
(d) 2
P∞
=4·
8n / (3
9n ) a wi¦c
·
π ≈ 3.14;
a
(8/9) < 1.
ln(n)
n jest rozbie»ny. Wskazówka: porówna¢ z szeregiem harmonicznym.
n=1
3.3. Wykaza¢, »e szereg przemienny
P∞
n ln(n) jest zbie»ny. Wskazówka: pokaza¢, »e ci¡g
n=1 (−1)
n
ln(n)
n jest monotoniczny (malej¡cy), potem zastosuj twierdzenie 6.3. Uwaga: monotoniczno±¢
ln(n)
ci¡gu an =
n wynika z faktu, »e an+1 − an < 0 co mo»na szkicowo pokaza¢ (zwªaszcza dla
1 n
du»ych n), posªuguj¡c si¦ przybli»eniem (1 + ) ≈ e prawie dokªadnie speªnym dla n >> 1
n
ln(n+1)
ln(n)
(równo±¢ mamy dopiero w granicy n → ∞). A konkretnie: an+1 − an =
n+1 − n = ... =
1
n+1 n 1
n(n+1) ln ( n ) n+1 . Teraz dopiero podstawiamy podane przybli»enie i przekonujemy si¦,
1
1
1
»e an+1 − an ≈
n(n+1) [ln(e) + ln( n )] < 0 gdy» ln( n ) dla du»ych n jest ujemne i na moduª
bardzo du»e.
3.4. Prosz¦ zbada¢ zbie»no±¢ szeregu w zale»no±ci od dodatniego parametru
∞
X
an n!
nn
n=1
Wskazówka:kryterium d'Alemberta oraz
3.5. Porównuj¡c szereg
P
n
√
n→∞
3.6. Uzasadnij rozbie»no±¢ szeregu
P∞
n=1 ln(1
P
:
,
e = lim 1 +
1
z szeregiem
n(n+1)
a
1 n
n . Uwaga:
e ≈ 2.718.
1
n+1 zbadaj jego zbie»no±¢
+ n1 ).
Wskazówka:
ln(1 +
1
n
= ln(1 + n) − ln(n),
wypisz w sposób jawny sumy cz¡stkowe
3.7. Zbadaj zbie»no±¢ szeregu
X
an =
∞
X
√
n=1
Wskazówka: pomno»y¢ licznik i mianownik
0 < an <
an
n+1−
n
√
n
przez czynnik
√
√
( n + 1 + n)
i pokaza¢, »e
1 −3/2
. Zastosowa¢ twierdzenie 6.5.
2n
3.8. Prosz¦ zbada¢ zbie»no±¢ szeregów:
a)
∞
P
e)
n=1
∞
P
n=1
1
,
n3
(−1)n−1
√
,
5n
b)
∞
P
f)
n=1
∞
P
n=1
1
n(n+2)
n 2n
(n+2)n
,
c)
∞
P
g)
n=1
∞
P
2n n!
nn ,
d)
∞
P
h)
n=1
∞
P
2
(n+1)n
n n2
n=1 π n
,
3n n!
nn ,
2
4n nn
,
n2
(n+2)
n=1
t.j. prosz¦ uzasadni¢, »e dany szereg jest szeregiem zbie»nym lub, »e jest szeregiem rozbie»nym
(bez wyznaczania warto±ci sumy szeregu, gdy takowa istnieje). Wskazówki: (a), (b) kryterium
1
; (c), (d) patrz zadanie 3.3; (e) szereg naprzemienny,
n2
porównawcze, np z szeregiem typu
patrz tw. 6.4 z wykªadu (f ) kryterium Cauchy'ego, oraz patrz zadanie 3.1; (g), (h) kryterium
Cauchego
3.9. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów:
∞
P
a)
n=1
n
2n+1 ,
∞
P
b)
n −n
2(−1)
,
c)
n=1
∞
P
n=1
n100
n! .
Wskazówki: (a) zastosowa¢ twierdzenie 6.1; (b) pokaza¢ »e szereg jest bezwzgl¦dnie zbie»ny;
jest bezwzgl¦dnie zbie»ny wi¦c mo»na go rozbi¢ na dwa szeregi geometryczne; ka»dy z nich
mo»na osobno wysumowa¢ (c) zastosuj kryterium d'Alamberta
3.10. Prosz¦ zbada¢ zbie»no±c szeregów, dla szeregów zbie»nych prosze sprawdzic, czy jest to zbie»no±¢ bezwzgl¦dna, czy te» warunkowa,
a)
∞
P
n=1
(−1)n
n! ,
∞
P
b)
n=1
cos(nπ)
,
n
c)
∞
P
(−1)n (n+1)(n+2)(n+3)
2n(n2 +1)
d)
n=1
∞
P
n=1
Wskazówki: (a) kryterium d'Alamberta; (b) cosinus przybiera warto±ci zero oraz plus, minus
jeden, szereg jest wi¦c przemienny, zastosuj twierdzenie 6.3; (c) patrz twierdzenie 6.1; (d)
szereg naprzmienny, patrz tw. 6.3
3.11. Prosz¦ wyznaczy¢ posta¢ wyrazu ogólnego ci¡gu
∞
X
cn =
n=1
Wskazówka: stosuj¡c twierdzenie.
cn =
( 21 )n
−
∞
P
∞
P
an
i
n=1
an
∞
P
bn ,
n=1
∞
P
jest zbie»ny, to
n=1
b) jesli
dla którego
∞
∞
X
1 X 1
·
.
2n
3n
n=1
n=1
7.5 , przelicz (wzór na sum¦ ci¡gu geometrycznego), »e
( 13 )n .
3.12. Rozwa»amy szeregi
a) jesli
(cn ),
gdzie
bn
1
n , to szereg
∞
P
an
nie jest zbie»ny ale szereg
n=1
Wskazówki: (a) rozpisa¢ sum¦ cz¡stkow¡ dla szeregu
kowymi dla szeregu
P
patrz twierdzenie 6.1
an ;
Pokaza¢, »e:
jest zbie»ny.
n=1
an = (−1)n 1 −
bn = a2n−1 + a2n .
∞
P
bn
jest zbie»ny.
n=1
P
bn
(b) rozpisa¢ sumy cz¡stkowe dla
i porówna¢ j¡ z sumami cz¡st-
P
bn ,
rozbie»no±c szeregu
P
an
(−1)n n2
.
n3 +1