MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA 1. Notatki

MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA
JAKUB OLCZYK
Notatki maj¡ sªu»y¢ jako pomoc przy rozwi¡zywaniu równa« ró»niczkowych, które pojawiaj¡ si¦
podczas symulowania zjawisk rzeczywistych. Nie nale»y zakªada¢ poprawno±ci matematycznej,
ani powoªywa¢ si¦ na nie w »aden sposób.
Notatki matematyczne
1.
Denicja.
(Transformata Laplace'a)
Transformat¡ Laplace'a funkcji
f : [0, ∞) → R
nazywamy nast¦puj¡c¡ funkcj¦
R 3 s 7→ F (s) ∈ R.
ˆ
∞
ˆ
def
T
e−st f (t)dt = lim
F (s) = L{f (t)} =
T →∞
0
e−st f (t)dt
0
W naszych rozwa»aniach b¦dziemy za jmowa¢ tylko przypadkami, gdzie ta caªka
niewªa±ciwa jest zbie»na. Dziedzin¦ oznaczamy przez
ˆ
D(L(f )).
∞
e−st f (t)dt −
D(L(f )) = {s ∈ R :
}
zbie»na
0
Twierdzenie.
(O istnieniu transformaty)
która ogranicza
M > 0 oraz α > 0 takie, »e |f (t)| 6 M ·eαt , czyli »e istnieje funkcja,
wykªadniczo funkcj¦ f (t), to transformata Laplace'a jest zbie»na.
Twierdzenie.
(Liniowo±¢ transformaty Laplace'a)
Je±li istniej¡
α ∈ R oraz f, g - funkcje [0, ∞) 7→ R,
L{αf (t)} = αL{f (t)}
L{f (t) + g(t)} = L{f (t)} + L{g(t)}
Niech
zachodz¡ warunki
Przykªad 1.
ˆ
c 6= 0
ˆ
∞
n
ct
e dt = lim
n→∞
0
ct
e dt = lim
n→∞
0
1 ct
e
c
n
= lim
n→∞
0
1 cn 1
e −
c
c
Rozwa»a j¡c przez przypadki
(
c>0
c<0
granica rozbie»na
granica zbie»na (to nas interesuje)
?=−
1
c
Przykªad 2.
f (t) = 1
ˆ
L(f ) =
ˆ
∞
e
−st
0
?-
0
posªuguj¡c si¦ przykªadem 1
1
∞
?
e−st 1dt =
f (t)dt =
1
s
=
1
lim (ecn − 1) = ?
c n→∞
MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA
JAKUB OLCZYK
Przykªad 3.
f (t) = eat , a 6= 0
ˆ
ˆ
∞
L(f ) =
e
e dt =
e
0
= lim
T →∞
ˆ
∞
−st at
at−st
dt =
0
1 t(a−s)
e
a−s
e
t(a−s)
T →∞
= lim
T →∞
T
et(a−s) dt =
dt = lim
0
T
0
ˆ
∞
0
1 0
1
1 T (a−s)
e
−
e =
lim eT (a−s) −1 = . . .
a−s
a−s
a − s T →∞
Rozwa»a j¡c przez przypadki
Zakªada j¡c
(
a−s>0
a−s<0
a<s
granica rozbie»na
granica zbie»na (to nas interesuje)
1 T (a−s) T →∞
e
−→ 0
a−s
1
1
1
(0 − 1) = −
=
··· =
a−s
a−s
s−a
Przykªad 4.
f (t) = f 0 (t)
´
´
Warto sobie przypomnie¢ w tym momencie caªkowanie przez cz¦±ci tj.
uv 0 = uv −
wzór
u0 v
ˆ
∞
0
L{f (t)} =
0
e−st f 0 (t)dt
^
^
u
∞
= e−st f (t) 0 − (−1)
v0
ˆ
0
∞
u = e−st
= 0
u = −se−st
v 0 = f 0 (t) =
v = f (t) ∞
def se−st f (t)dt = e−st f (t) 0 + sL{f (t)} =
= e−s[∞] f ([∞]) − e−s(0) f (0) + sL{f (t)} = sL{f (t)} − f (0)
?
??
Dwa ze skªadników wymagaj¡ dodatkowego wyja±nienia.
przez
Pierwszy oznaczony
?
T →∞
Drugi oznaczony przez
e−sT f (T ) −→ 0
?? przy podstawieniu T = 0
e−s(0) f (0) = −1 · f (0) = −f (0)
Wniosek.
L{f 0 (t)} = sL{f (t)} − f (0)
(1.1)
Sk¡d mo»na wyprowadzi¢
L{f (t)} =
(1.2)
Przykªad 5.
L{f 0 (t)} + f (0)
s
(posªuguj¡c si¦ dwa razy równaniem
1.1)
L{f (t)} = sL{f (t)}−f (0) = s sL{f (t)}−f (0) −f 0 (0) = s2 L{f (t)}−sf (0)−f 0 (0)
00
0
0
2
MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA
JAKUB OLCZYK
Przykªad 6.
1
s
1.2 L(1)+0
L{t} =
= s−1 s−1 = s−2 = s12
s
1.2
L(2t)−0
L{t2 } =
= 2L(t)
= s22 · 1s
s
s
2
L{3t }+0
3L{t2 }
3
L{t } =
= s = 3s L{t2 }
s
L{1} =
Dla
funkcji
1,f (t) = t
=
3
s
·
2
s3
=
f (t) =
itd. . .
6
s4
St¡d ªatwo ju» zobaczy¢, »e ogólny wzór przyjmuje posta¢
L{tn } =
n!
sn+1
Przykªad 7.
f (t) = sin(at)
L{f (t)} =
s2
a
+ a2
Przykªad 8.
Przydatne przy wy-
f (t) = cos(at)
f 0 (t) = cos(at) =⇒ f (t) =
prowadzeniu wzoru
1
a
sin(at)
L{cos(at)} =
Denicja.
s
s2 + a2
(Odwrotno±¢ transformaty Laplace'a)
s 3 R 7→ F (s) ∈ R jest funkcj¡ f (t), która posiada wªasno±¢
L{f (t)} = F (s), gdzie L jest transformat¡ Laplace'a. Mo»na j¡ zapisa¢ nast¦Dla funkcji
puj¡co
f (t) = L−1 {F (s)}
‚wiczenie.
We¹my równanie ró»niczkowe oraz warto±¢ pocz¡tkow¡
(
x0 (t) + kx(t)
x(0) = x0
=0
L{x0 (t) + kx(t)}
W niosek (1.1)
=
=
z liniowości
=
L{x0 (t)} + kL{x(t)}
sL{x(t)} − x(0) + kL{x(t)} = s ·
W niosek (1.1)
=
1
k
− x0 + 2 =
s2
s
k
1
s2 + k · s
s(s + k)
s+k
− x0 + 2 =
− x0 =
− x0 =
− x0
3
3
s
s
s
s
s2
s+k
− x0 = 0
s2
Policzyli±my transformat¦ Laplace, ale to nie daje nam a» tak wiele, poniewa»
nie mamy za bardzo jak skorzysta¢ z funkcji
F (s).
Trzeba by poszuka¢ odwrotnej
transformaty, »eby wróci¢ do przestrzeni funkcji, z której wyszli±my.
Oznaczmy zatem przez
X(s) = L{x(t)}i
nania powy»ej i wyliczmy je ze wzgl¦du na
3
skorzystajmy z po±redniej formy rów-
X(s).
MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA
JAKUB OLCZYK
sL{x(t)} + kL{x(t)} − x0 = 0
sX(s) + kX(s) − x0 = 0
X(s) s + k = x0
x0
X(s) =
s+k
Teraz mo»na ju» wyliczy¢ transformat¦ odwrotn¡
L−1 {X(s)} = L−1 {
x0
1
} = x0 L−1 {
} = x0 e−kt
s+k
s+k
‚wiczenie.

Zna jd¹ x = x(t) dla
00
0

x
(t)
+
2x
(t) + x(t) = t2

x(0) = 0

 0
x (0) = 1
4
Uwaga!
1
L−1 { s+a
} = e−at
Bo
L{eat } =
1
s−a