Topologia
Transkrypt
Topologia
Topologia Lista zajawkowa 1. Co oznacza sªowo topologia? 2. Czy kwadrat {(x, y) : 0 < x < 1 ∧ 0 < y < 1} mo»na przedstawi¢ w postaci sumy (niesko«czenie wielu) kóª? 3. Czy je±li ci¡g (xn ) jest zbie»ny, to z ka»dego jego podci¡gu (xkn ) mo»na wybra¢ pod-podci¡g (xkln ) zbie»ny? Czy je±li z ka»dego podci¡gu (xkn ) ci¡gu (xn ) mo»na wybra¢ pod-podci¡g (xkln ) zbie»ny, to ci¡g (xn ) jest zbie»ny? 4. Jak okre±li¢ odlegªo±¢ mi¦dzy gurami na pªaszczy¹nie? Odlegªo±¢ (cz¦±ciej nazywana metryk¡ ) to taka funkcja d(p, q), która speªnia trzy warunki: • Te same miejsca dzieli zerowa odlegªo±¢ (d(p, p) = 0), a ró»ne niezerowa (d(p, q) > 0 gdy p 6= q ). • Z miejsca p do miejsca q jest tak samo daleko, jak z miejsca q do miejsca p (d(p, q) = d(q, p)). • Droga z miejsca p do miejsca q jest krótsza (a przyjamniej nie dªu»sza) ni» droga z p do q przez r (d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)). Dwa pierwsze pomysªy na odlegªo±¢ mi¦dzy gurami P i Q s¡ nast¦puj¡ce: • Odlegªo±¢ najbli»szych sobie punktów P i Q, • Odlegªo±¢ najdalszych sobie punktów P i Q. Dlaczego s¡ to zªe pomysªy? Jaki jest dobry pomysª? 5. Dla ka»dej podanej pary zbiorów A i B odpowiedzie¢ na pi¦¢ pyta«: Czy istnieje Czy istnieje Czy istnieje Czy istnieje Czy istnieje bijekcja mi¦dzy A i B ci¡gªa w obie strony? funkcja ci¡gªa ze zbioru A na zbiór B ? funkcja ci¡gªa ze zbioru B na zbiór A? ró»nowarto±ciowa funkcja ci¡gªa z A w B ? ró»nowarto±ciowa funkcja ci¡gªa z B w A? Pary zbiorów A i B to: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) odcinek (0, 1) i odcinek [0, 1], odcinek (0, 1) i R, odcinek [0, 1] i R, zbiór liczb rzeczywistych i zbiór liczb niewymiernych, koªo i kwadrat (obie gury z brzegiem), koªo z dziur¡ (pier±cie«) i koªo bez dziury, kwadrat i odcinek, odcinek i kwadrat, d¦tka i piªka, logo Mercedesa i logo Hondy, rajstopy i obrus, rajstopy i leginsy (podpowied¹ dla facetów: kalesony bez rozporka), kobieta i m¦»czyzna (tzn. znaczki ♂ i ♀). Agata i Mateusz Kwa±niccy