Def. 1. Szeregiem • rozbie»ny do ±∞ gdy lim Sn = ±∞ Tw. 1. Je»eli

Def. 1. Szeregiem nazywamy wyra»enie
∞
X
an = a1 + a2 + a3 + ...,
n=1
an
liczb¦
nazywamy
n-tym
Sn :=
wyrazem szeregu, a sum¦
n
X
ak = a1 + a2 + a3 + ... + an
k=1
n-t¡
•
sum¡ cz¦±ciow¡.
Mówimy, »e szereg jest
(Sn )
zbie»ny gdy ci¡g
jego sum cz¦±ciowych jest zbie»ny do granicy wªa±-
ciwej,
•
rozbie»ny do
±∞
•
rozbie»ny gdy
lim Sn = ±∞,
gdy
(Sn )
nie ma granicy (ani wªa±ciwej ani niewªa±ciwej).
Je±li szereg jet zbie»ny, to granic¦ ci¡gu sum cz¦±ciowych nazywamy jego
sum¡ i oznaczamy
∞
X
an
(tak samo jak szereg!), czyli
n=1
∞
X
an := lim Sn .
n=1
Przykªad: 1. Wyznaczy¢ sumy cz¦±ciowe danych szeregów i zbada¢ ich zbie»no±¢:
a)
∞
X
qn ,
dla
|q| < 1,
∞
X
2n + 3n
,
5n
n=1
b)
n=1
e)
∞
X
(−1)
n+1
c)
∞
X
ln
n=1
n
,
n+1
d)
∞
X
1
,
n(n + 1)
n=1
.
n=1
Tw. 1. Je»eli szeregi
∞
X
an
i
1.
(an + bn ) =
n=1
Uwaga 1. Je»eli szereg
∞
X
an +
n=1
∞
X
bn
s¡ zbie»ne, to
n=1
n=1
∞
X
∞
X
an
∞
X
bn ;
2.
n=1
∞
X
can = c
n=1
jest zbie»ny, to
∞
X
an .
n=1
lim an = 0.
n=1
fn b¦dzie
∞
X
f (n) i
Tw. 2 (Kryterium caªkowe zbie»no±ci szeregów). Niech funkcja
jemna i nierosn¡ca na przedziale
Z
[n0 , ∞).
Wówczas szereg
n=n0
∞
f (x)dx
s¡ jednocze±nie zbie»ne albo rozbie»ne do
n0
1
+∞.
nieucaªka
Wn. 1 (Kryterium zbie»no±ci szeregów harmonicznych rz¦du
jest zbie»ny dla
p>1
a rozbie»ny dla
∞
X
∞
X
1
,
2n
+3
n=1
5
n− 3 ,
b)
n=1
∞
X
n
.
e n2
n=1
Tw. 3 (Kryterium porównawcze zbie»no±ci szeregów). Niech
n ≥ n0 .
c)
∞
X
1
,
n
ln
n
n=2
0 ≤ an ≤ bn
dla
Wówczas:
1. Je»eli
∞
X
bn
∞
X
jest zbie»ny, to szereg
n=1
2. Je»eli
∞
X
an
jest zbie»ny.
n=1
an
jest rozbie»ny do
+∞,
to szereg
n=1
∞
X
bn
√
∞
X
n
,
n+1
n=1
Wówczas szeregi
∞
X
n=1
+∞.
bn
i
∞
X
an
n sin
n=1
1
,
n3
c)
an , bn > 0 i lim
∞
X
ln n
.
n2
n=1
an
=
bn
s¡ jednocze±nie zbie»ne lub rozbie»ne do
n=1
Przykªad: 4. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a)
a rozbie»ny gdy
∞
X
n2 + 3n
,
n4 − n3
n=1
an+1
| = q.
an
1 < q ≤ ∞.
Tw. 5 (Kryterium d'Alemberta). Niech
q<1
∞
X
b)
Tw. 4 (Kryterium ilorazowe zbie»no±ci szeregów). Niech
jest zbie»ny gdy
+∞.
jest rozbie»ny do
n=1
Przykªad: 3. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a)
k > 0.
∞
X
1
np
n=1
Szereg
p ≤ 1.
Przykªad: 2. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a)
d)
p).
lim |
∞
X
2n
,
n!
n=1
Przykªad: 5. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a)
Tw. 6 (Kryterium Cauchy'ego). Niech
lim
p
n
b)
Wówczas szereg
c)
∞
X
∞
X
nn
.
(n + 1)n+1
n=1
an
n=1
b)
|an | = q .
∞
X
1 + 3n
,
2n + 4n
n=1
∞
X
n!
.
n
n
n=1
Wówczas szereg
∞
X
an
n=1
jest zbie»ny gdy
q<1
a rozbie»ny gdy
1 < q ≤ ∞.
∞ 2
X
n + 3n n
Przykªad: 6. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a)
n=1
Tw.
lim an = 0 i ci¡g an
∞
X
naprzemienny
(−1)n+1 an jest
7 (Kryterium Leibniza). Je»eli
pewnego
n 0 ∈ N,
to szereg
2n2 − n
n=1
2
,
b)
∞
X
n10
.
en
n=1
jest nierosn¡cy od
zbie»ny.
Def.
szereg
2. Mówimy, »e szereg
∞
X
∞
X
an
jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, gdy zbie»ny jest
n=1
|an |.
Szereg, który jest zbie»ny ale nie jest zbie»ny bezwzgl¦dnie,
n=1
nazywamy zbie»nym warunkowo.
Tw. 8. Je»eli szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, to jest zbie»ny.
Przykªad: 7. Zbada¢ zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡ szeregów: a)
∞
X
(−1)n
n=1
3
n
,
n2 + 1
b)
∞
X
(−1)n
n=1
n
.
2n