1. Metoda eliminacji Gaussa (bez wyboru elementu podstawowego

1. Metoda eliminacji Gaussa (bez wyboru elementu podstawowego).
Doprowadź poniższą macierz do postaci trójkątnej górnej.
[
2
1
4
4
1
0
6
1
−5
]
2. Metoda eliminacji Gaussa (bez wyboru elementu podstawowego) – program.
Program przekształca macierz o wymiarach nn i wypisuje macierz doprowadzoną do postaci
trójkątnej górnej. Przetestować na macierzy z zad. 1 oraz na poniższej macierzy (macierz nie musi
być wprowadzana z klawiatury – może być wpisana w programie)
[
5
1
0.02
1
3
4
0.5
0.25
2
2
3
3
0.3
1
0
2
0.5
0
2
2
1
2
0
1
10
]
3. Postępowanie odwrotne – program.
Program rozwiązuje zagadnienie AX=B i wypisuje wektor niewiadomych X. W programie podana
jest macierz trójkątna górna A (nn) i kolumna B.
4. Postępowanie odwrotne – program pobierający dane z pliku.
Program odczytuje z pliku dane2411.txt liczbę n, a następnie macierz, posiadającą n wierszy i n+1
kolumn. Pierwsze n kolumn reprezentuje macierz A, a ostatnia kolumna reprezentuje wektor B dla
zagadnienia AX=B. Macierz A jest macierzą trójkątną górną. Program oblicza i wypisuje wektor
niewiadomych X.
5. Metoda eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego.
Doprowadź poniższą macierz do postaci trójkątnej górnej.
[
1
3
2
1 1
2 2
0 −1
]
6. Metoda eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego – program.
Program doprowadza macierz o wymiarach nn do postaci trójkątnej górnej i wypisuje wynik na
ekranie. Przetestować na macierzy z zad. 5 oraz dla macierzy
[
1
5
0.02
1
3
0.5
4
0.25
2
2
3
3
0.3
1
0
0.5
2
0
2
2
2
1
0
1
10
]
7. Rozwiązywanie układu równań – porównanie rozwiązań uzyskanych metodami eliminacji
Gaussa bez i z częściowym wyborem elementu podstawowego.
Pierwszy program rozwiązuje układ równań metodą eliminacji Gaussa bez wyboru elementu
podstawowego, a drugi metodą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu
podstawowego. Najwygodniej jest pracować z macierzą rozszerzoną o wymiarach n(n+1), w
której pierwsze n kolumn to macierz współczynników układu równań, a ostatnia kolumna to prawa
strona układu równań. Oba programy mają zawierać postępowanie odwrotne. Porównać wyniki
uzyskane dla układu równań
[
0.0000001
0.0000002
0.0000001
1000000000
0.0000002
0.0000001
0.0000001
1
1
1000000000
0
0.0000001
][ ] [
x1
1
5.0000001
x
1
2 = 2000000003.0000002
1000000000 x3
3000000000.0000001
0.0000002 x 4
1000000000.0000008
]
Dla ułatwienia – można skopiować deklaracje wartości (ostatnia kolumna reprezentuje prawą stronę
układu równań):
const int n=4;
double a[n][n+1];
a[0][0]=0.0000001;
a[0][1]=0.0000002;
a[0][2]=1;
a[0][3]=1;
a[0][4]=5.0000001;
a[1][0]=0.0000002;
a[1][1]=0.0000001;
a[1][2]=1000000000;
a[1][3]=1;
a[1][4]=2000000003.0000002;
a[2][0]=0.0000001;
a[2][1]=0.0000001;
a[2][2]=0;
a[2][3]=1000000000;
a[2][4]=3000000000.0000001;
a[3][0]=1000000000;
a[3][1]=1;
a[3][2]=0.0000001;
a[3][3]=0.0000002;
a[3][4]=1000000000.0000008;
8. Rozkład LU.
Wyznaczyć macierze L i U dla podanej macierzy.
[
2
−4
3
2
1
−2 −2
4
10
]
9. Rozkład LU - program.
Program wyznacza i wypisuje macierze L i U dla podanej macierzy kwadratowej A. Przetestować
na macierzy z zad. 8.
10. Rozkład LU – rozwiązanie układu równań, program
Program wyznacza rozwiązanie układu równań, wykorzystując rozkład LU macierzy
współczynników.
[
2
−4
3
2
1
−2 −2
4
10
][ ] [ ]
x
221
y = −422
z
350
11. Rozkład LU – znajdowanie macierzy odwrotnej, program
Program wyznacza macierz odwrotną do zadanej macierzy kwadratowej. Przetestować na macierzy:
[
2
−4
3
2
1
−2 −2
4
10
]