Tomasz Kołodziejczyk Informatyka, I rok niestacjonarne

Tomasz Kołodziejczyk
Informatyka, I rok niestacjonarne
Macierz sąsiedztwa
W teorii grafów macierz sąsiedztwa grafu G jest kwadratową macierzą w której aij oznacza liczbę
krawędzi pomiędzy wierzchołkami i i j. W przypadku grafów prostych macierz sąsiedztwa jest
macierzą zerojedynkową z zerami na głównej przekątnej. Dla grafów nieskierowanych macierz
sąsiedztwa jest z definicji symetryczna.
Dla przykładowego grafu o sześciu wierzchołkach oraz siedmiu krawędziach:
Macierz sąsiedztwa dla grafów
nieskierowanych jest z definicji
symetryczna. W szczególności
oznacza to że ma wszystkie
wartości własne rzeczywiste, i
pełen zbiór ortogonalnych
wektorów własnych. Zbiór
wartości własnych tej macierzy
określa się jako widmo grafu.
Izomorfizmowi grafów odpowiada permutacja macierzy sąsiedztwa. Oznacza to że grafy
izomorficzne mają ten sam wielomian charakterystyczny, zbiór wartości własnych, wyznacznik,
oraz ślad. Odwrotna zależność nie jest prawdziwa - grafy z takim samym wielomianem
charakterystycznym nie muszą być izomorficzne.
Jeśli A jest macierzą sąsiedztwa grafu skierowanego G, to macierz An (n-ta potęga macierzy A) ma
następującą interpretację: aij oznacza liczbę ścieżek długości n z wierzchołka i do wierzchołka j.
Dla grafów skierowanych macierz I − A (gdzie I oznacza macierz jednostkową) jest odwracalna
wtedy i tylko wtedy gdy graf G nie zawiera cykli. W takim przypadku (I − A)−1 ma następującą
interpretację: aij oznacza liczbę wszystkich ścieżek z wierzchołka i do wierzchołka j (przy braku
cykli ta liczba jest skończona). Wynika to z rozwinięcia tej odwrotności w szereg geometryczny dla
macierzy:
(I − A)−1 = I + A + A2 + A3 + ...
odpowiadający sumowaniu liczby ścieżek długości 0, długości 1, 2 itd.