1. Test na obecnosc pewnego wirusa w organizmie daje wynik

1. Test na obecność pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem
0.90, jeśli wirus jest w organizmie. Jeśli wirusa w organizmie nie ma to prawdopodobieństwo
wyniku pozytywnego wynosi 0.01. Zaklada siȩ, że 2% populacji jest zarażona wirusem.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że: losowo wybrana osoba nie jest zarażona wirusem, jeśli
test dal wynik negatywny.
2. Zaklad pracuje na trzy zmiany. Zmiany produkuja̧ odpowiednio n1 = 200, n2 = 600, n3 =
200 wyrobów, przy czym szansa wyprodukowania wadliwego wyrobu wynosi odpowiednio
p1 = 0, 1, p2 = 0, 2, p3 = 0, 3. Wiadomo, że wyrób wylosowany z calej produkcji nie jest
wadliwy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej zmiany?
3. Wiadomo, że 2% skrzynek pomarańczy psuje siȩ w czasie transportu. Z transportu w sposób
losowy pobiera siȩ 20 skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy wiȩcej niż 10% badanych
skrzynek zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu?
4. Przy masowych prześwietleniach maloobrazkowych prawdopodobieństwo natrafienia na chorego
na gruźlice jest 0,03. a) Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo,
że wśród 100 ludzi prześwietlonych bȩdzie co najmniej jeden chory. b) Ile ludzi należy
prześwietlić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego chorego bylo wiȩksze
niż 0.8?
5. Z miesiȩcznych obserwacji pewnego sklepu wynika, że liczba klientów X pojawiaja̧cych siȩ
miȩdzy 16.00 a 18.00 może być modelowana przez rozklad Poissona. Ile średnio klientów
pojawia siȩ w tym sklepie w cia̧gu tego okresu, jeżeli prawdopodobieństwo, że pojawia siȩ co
najmniej jeden klient wynosi 0.95. Oblicz prawdopodobieństwo, że w sklepie w cia̧gu tego
okresu, pojawi siȩ co najwyżej 2 klientów.
6. Partia towaru zawiera 3% braków. a) Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo
wykrycia co najmniej jednego braku bylo wiȩksze niż 0.9. b) Na podstawie przybliżenia
Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 200 sprawdzonych elementów bȩda̧ co
najwyżej dwa wybrakowane.
7. W cia̧gu dnia firma budowlana zużywa X ton żwiru, przy czym X jest zmienna̧ losowa̧ o
dystrybuancie:

gdy x ≤ 0,
 0
1 2
x
gdy 0 < x ≤ 3,
F (x) =
 9
1
gdy x > 3.
a). Obliczyć średnie zużycie żwiru w cia̧gu dnia.
b). Obliczyć prawdopodobieśtwo, że firma zużyje mniej niż 1 tonȩ żwiru w cia̧gu dnia.
c). Obliczyć prawdopodobieństwa, że w okresie 300 dni bȩda̧ co najmniej dwa dni, w których
firma zużyje mniej niż 1 tonȩ żwiru.
8. Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisuja̧ca procent zanieczyszczeń
w próbce rudy miedzi ma rozklad o gȩstości
6x(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1,
f (x) =
0
poza tym.
a) Jaki jest średni procent zanieczyszczeń próbki rudy miedzi ? b) Jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia (X > 0.1) ? c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 300 próbek bȩdzie co najwyżej jedna, w której procent zanieczyszczeń nie przekroczy 10(%).
9. Dzienne zużycie energii (100kWh =1) pewnej firmy jest zmienna̧ losowa̧ X o gȩstości:
1
2
9 (3 + 2x − x ) gdy 0 ≤ x ≤ 3,
fX (x) =
0
gdy x < 0 lub x > 3.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia (X < 2) ? b) Obliczyć prawdopodobieństwo,
że w okresie 100 dni bȩda̧ co najmniej dwa dni, w których firma zużyje wiȩcej niż 200kWh
energii. Jakie jest średnie dzienne zużycie energii?
10. Wiadomo, że zmienna losowa X określaja̧ca bla̧d pomiaru ma rozklad normalny z wartościa̧
średnia̧ 0 i standardowym odchyleniem σ. Wiadomo również, że bla̧d pomiaru wychodzi poza
przedzial (−0.5, 0.5) z prawdopodobieństwem 0.05. Oblicz σ oraz P (|X| < 1).
11. Średnica metalowych kulek produkowanych przez automat jest zmienna̧ losowa̧ X o rozkladzie
N (0.7, 0.06). Za zgodne z norma̧ uznaje siȩ kulki o średnicy z przedzialu [0.67, 0.73]. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że wybrana losowo z produkcji kulka spelnia wymagania normy. Jaka
jest średnia liczba kulek nie spelniaja̧cych wymagań normy wśród 300 kulek?
12. Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozklad N (700, 100). Jaki
powinien być okres gwarancji, aby na 85% miernik dzialal przynajmniej przez okres gwarancji?
13. Czas kontroli X elementu (w s) ma rozklad N (8, σ). Wyznaczyć σ, jeżeli√P (|X − 8| > 1) =
0.07. Narysować funkcjȩ gȩstości X, zaznaczyć zdarzenie |X − EX| < 3 V arX i obliczyć
jego prawdopodobieństwo.
14. Bla̧d pomiaru wysokości komina ma rozklad normalny o wariancji 0.36m2 . Ile pomiarów
należy wykonać, aby na poziomie ufności 0.85 oszacować wysokość komina w przedziale
ufności dlugości 0.01m?
15. Producent chce zbadać jaka̧ wytrzymalość maja̧ produkowane przez niego elementy konstrukcyjne. Przeprowadzono badania polegaja̧ce na wykonaniu 6 pomiarów, w wyniku których
otrzymano próbȩ
30 31.5 30.5 31 32 31 [kG/cm2 ].
Zakladaja̧c, że pomiary pochodza̧ z populacji o rozkladzie normalnym sporza̧dzić 98% przedzial
ufności [a, b] dla średniej wytrzymalości elementów konstrukcji.
(a) Prawda czy falsz: Mamy 98% pewność, że średnia wytrzymalość elementów konstrukcji
w naszej próbie zawiera siȩ w przedziale [a, b].
(b) Prawda czy falsz: Mamy 98% pewność, że średnia wytrzymalość elementów konstrukcji
w calej populacji zawiera siȩ w przedziale [a, b].
16. W celu oszacowania standardowego odchylenia wagi pacjentów przychodni diabetologicznej
w pewnym mieście poludniowej Polski wylosowano 11 kart pacjentów, uzyskuja̧c wagi w
kilogramach: 72, 70, 71, 71, 62, 80, 71, 71, 80, 62, 71. Wyznacz 99% przedzial ufności
dla nieznanego odchylenia stadardowego wagi populacji pacjentów, zakladaja̧c że waga ma
rozklad normalny.
17. Firma reklamowa stara siȩ ustalić jaki procent Polaków ogla̧da pewien program sportowy.
a) Ilu ludzi powinno siȩ przepytać jeżeli chcemy mieć 96% pewność, że dlugość przedzialu
ufności dla frakcji Polaków ogla̧daja̧cych ten program jest nie wiȩksza niż 0.1 ? (przyja̧ć
p̂ = 0.5)
b) Niech n bȩdzie rozmiarem próby ustalonym w punkcie a). Okazuje siȩ, że 44% Polaków
z próby o rozmiarze n ogla̧da ten program. Skonstruuj 96% przedzial ufności dla frakcji
wszystkich Polaków ogla̧daja̧cych ten program.
18. Na pudelkach zapalek napisane jest: średnio 100 zapalek. Celem zweryfikowania tej hipotezy
przeliczono zapalki w 25 pudelkach i otrzymano średnia̧ 102. Przyja̧ć, że liczba zapalek ma
rozklad normalny N (m, 5). Zweryfikować prawdziwość tego sa̧du na pozionie istotności 0.05
i dla jednostronnej hipotezy alternatywnej.
19. Listwy podlogowe dostarczane przez tartak powinny mieć średni dlugość 230 cm. Na życzenie
odbiorcy, który reklamowal dostarczone listwy jako - przeciȩtnie - zbyt krótkie, wykonano
badanie czȩściowe i w losowej próbie 25 listew średnia wyniosla 222 cm. Czy można na
poziomie istotności 0,06 uznać reklamacjȩ odbiorcy za sluszna̧? O rozkladzie dlugości produkowanych listew wiadomo, że jest normalny z wariancja̧ w calej populacji równa̧ 64 cm2 .
Skonstruuj odpowiedni test.
20. Z populacji o rozkladzie normalnym N (m, σ) pobrano próbȩ trzyelementowa̧: 13, 11, 12. Na
poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezȩ, że m = 13 przeciwko alternatywie jednostronnej