ZAJĘCIA 4 ∑ ∑

ZAJĘCIA 4
Indeksy indywidualne i zespołowe (agregatowe)
SZEREGI CZASOWE
W badaniach ekonomicznych i społecznych zjawiska są często opisywane przez zbiór wartości
zaobserwowanych w różnych momentach, przedziałach czasu.
Szeregiem czasowym – nazywamy uporządkowany zbiór wartości statystycznych charakteryzujących zmiany
poziomu zjawiska w czasie.
Wyróżniamy dwa rodzaje szeregów czasowych:

Szereg czasowy okresów – powstaje w wyniku zsumowania wartości badanego zjawiska dla
przedziałów czasu o jednakowej długości np. miesięczne opady na danym terenie w roku. Szeregi
czasowe okresów dotyczą zjawisk w postaci strumieni;
Miarą przeciętnego poziomu zjawiska dla szeregów czasowych okresów jest średnia arytmetyczna.
n
y
yt

- wartośd cechy w okresie t,
y
t
t 1
n
n – liczba wszystkich okresów obserwacji, y
- średnia arytmetyczna
Szeregi czasowe momentów – powstaje w wyniku pomiaru badanego zjawiska w ściśle określonych,
równo odległych momentach np. liczba zatrudnionych, liczba ludności na 31.12 każdego roku. Ten
rodzaj szeregów dotyczy zjawisk mających postad zasobów;
Miarą przeciętnego poziomu zjawiska dla szeregów czasowych momentów jest średnia
chronologiczna
n 1
ych 
y1
- wartośd cechy z 1. okresu,
chronologiczna,
yn
0,5  y1   yt  0,5  y n
t 2
n 1
- wartośd cechy z n-tego (ostatniego) momentu obserwacji,
ych
- średnia
n - liczba wszystkich okresów obserwacji.
METODY ANALIZY SZEREGÓW CZASOWYCH

Metody indeksowe – służą do liczbowego określenia tempa i intensywności zmian zjawiska w czasie –
dynamika badanego zjawiska;

Metody opisu czynników wywołujących zmiennośd zjawisk - wyodrębniania tendencji rozwojowej,
wahao sezonowych, wahao okresowych i wahao przypadkowych.
Miary dynamiki zmian
ZADANIA ANALIZY SZEREGÓW CZASOWYCH:

Określenie kierunku zmian poziomu wartości cech w czasie;

Określenie tempa zmian poziomu zjawiska;

Określenie intensywności zmian poziomu zjawiska.
Prowadzenie analiz szeregów czasowych, wymaga zastosowania miar, które wskazują na zmiany bieżących
wartości zjawiska względem wartości zjawiska w okresie podstawowym.
Zajęcia 4.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 1 z 6
PODZIAŁ MIAR ZE WZGLĘDU NA RODZAJ PODSTAWY PORÓWNAO

Miary dynamiki o podstawie stałej (jednopodstawowe) – charakteryzują zmiany jakie nastąpiły w
poziomie wartości badanej cechy w kolejnych okresach (momentach) w porównaniu do okresu
bazowego. Jako podstawę przyjmuje się najczęściej pierwszy okres. Należy pamiętad, aby podstawa
była wartością typową pod względem wartości. Wtedy można poznad istotę zachodzących zmian,
oceny dynamiki nie będą zawyżone, ani zaniżone. Np. porównanie temperatury ze wszystkich dni
tygodnia do temperatury z poniedziałku.

Miary dynamiki o podstawie ruchomej (łaocuchowe) – opisują zmiany jakie nastąpiły w poziome
badanego zjawiska z okresu (momentu) na okres (moment). Jako podstawę porównao przyjmuje się
poziom zjawiska w okresie poprzednim (opóźnionym o jeden okres). Np. porównywanie temperatury z
określonego dnia w porównaniu do temperatury w okresie poprzednim.
Miary dynamiki szeregu czasowego
Indeksy
Przyrosty
Przyrosty absolutne
łaocuchowe
jednopodstawowe
Przyrosty względne
łaocuchowe
Indeksy indywidualne
Indeksy zespołowe
(agregatowe)
jednopodstawowe
łaocuchowe
Dla
absolutnych
Dla
względnych
jednopodstawowe
PRZYROSTY ABSOLUTNE
Przyrosty absolutne jednopodstawowe
Stanowią różnicę pomiędzy poziomem zjawiska w okresie bieżącym a poziomem zjawiska w okresie bazowym:
t / k  yt  yk ,
dla t=1, 2, 3, 4,…, n
Gdzie: yt – poziom cechy w okresie (momencie) t, yk – poziom cechy w okresie bazowym,
t / k -
przyrost absolutny
jednopodstawowy
Interpretacja: O ile jednostek wzrósł (znak +) lub spadł (znak - ) poziom zjawiska w okresie badanym w
porównaniu z okresem (momentem) bazowym
Przyrosty absolutne łaocuchowe
Nazywają różnicę pomiędzy poziomem zjawiska w bieżącym okresie (momencie), a poziomem zjawiska w
okresie poprzednim:
 t / t 1  yt  yt 1 ,
dla t=2, 3, 4,…, n
Gdzie: yt – poziom cechy w okresie (momencie) t, yk – poziom cechy w okresie bazowym,
 t / t 1 -
przyrost absolutny
łaocuchowy
Zajęcia 4.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 2 z 6
Interpretacja: O jednostek wzrósł (znak +)/ zmalał (znak -) poziom badanego zjawiska w okresie (momencie)
badanym, w porównaniu z okresem poprzednim.
PRZYROSTY WZGLĘDNE
Przyrosty względne są wielkościami niemianowanymi. Określane są niekiedy mianem wskaźników tempa
przyrostu.
Przyrosty względne jednopodstawowe
Stosunek przyrostu absolutnego jednopodstawowego do poziomu zjawiska w bazowym okresie:
dt / k 
 t / k yt  y k
dla t=1, 2, 3, 4,…, n

yk
yk
Interpretacja: O ile procent (pomnożony przez 100%) poziom badanego zjawiska w okresie (momencie)
bieżącym jest wyższy lub niższy od poziomu zjawiska w okresie podstawowym (bazowym).
Przyrosty względne łaocuchowe
Stosunek przyrostu absolutnego łaocuchowego do poziomu zjawiska w okresie poprzednim:
d t / t 1 
 t / t 1 yt  yt 1

yt 1
yt 1
dla t= 2, 3, 4,…, n
Interpretacja: O ile procent (pomnożony przez 100%) poziom badanego zjawiska w okresie (momencie)
bieżącym jest wyższy lub niższy od poziomu zjawiska w okresie poprzednim.
INDEKSY INDYWIDUALNE DYNAMIKI
Stosunek poziomu zjawiska w badanym okresie do poziomu zjawiska w określonym okresie (podstawowym –
bazowym lub poprzednim). Dotyczą zjawisk jednorodnych, opisanych pojedynczym szeregiem czasowym.
Indeksy są wielkościami niemianowanymi i są wyrażane w procentach. W zależności od podstawy porównao
wyróżniono indeksy jednopodstawowe oraz łaocuchowe.
Interpretacja: Jaka część poziomu zjawiska z okresu (bazowego lub poprzedniego) stanowi poziom zjawiska
w okresie badanym.

Jeśli indeks jest mniejszy od 1 (od 100%), świadczy to o spadku poziomu badanego zjawiska względem
określonego okresu (momentu);

Jeśli indeks jest większy od 1 (od 100%), świadczy to o wzroście poziomu badanego zjawiska względem
określonego okresu (momentu)
Indeks indywidualny jednopodstawowy
it / k 
yt
yk
dla t=1, 2, 3, 4,…, n
Indeks indywidualny łaocuchowy
it / t 1 
yt
yt 1
dla t=2, 3, 4,…, n
ZWIĄZKI POMIĘDZY PRZYROSTAMI WZGLĘDNYMI A INDEKSAMI
dt / k 
Zajęcia 4.
yt  yk yt yk yt



 1  it / k  1
yk
yk yk yk
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
dla t=1, 2, 3, 4,…, n
Strona 3 z 6
d t / t 1 
yt  yt 1
y
y
y
 t  t 1  t  1  it / t 1  1
yt 1
yt 1 yt 1 yt 1
dla t=2, 3, 4,…, n
MIARY ŚREDNIEGO TEMPA ZMIAN BADANYCH ZJAWISK W CZASIE
Średnie tempo zmian zjawiska w czasie – średni indeks łaocuchowy
Przedstawione wyżej miary dynamiki pozwalają na ocenę dynamiki w dwóch różnych okresach. Średnie tempo
zmian zjawiska daje możliwośd oceny zmian danego zjawiska w całym przedziale czasowym, objętym
obserwacją. Miernik jest oparty na średniej geometrycznej. W roli zmiennych występują indeksy indywidualne
łaocuchowe. Ponieważ na podstawie n obserwacji można obliczyd n-1 indeksów łaocuchowych, zatem wzór na
średnią geometryczną ma postad:
iG  n1 i2 / 1  i3 / 2  ...  in / n1  n1
y
y
y 2 y3
  ...  n  n1 n
y1 y2
yn1
y1
Gdzie: n – liczba obserwacji
Interpretacja: Jaką (średnio w badanym okresie) część poziomu zjawiska z okresów (momentów) bieżących
stanowiły poziomy wartości zjawiska w okresach poprzednich
Średniookresowe tempo zmian – średni przyrost względny łaocuchowy
Daje informacje o przeciętnych zmianach zjawiska w czasie wtedy, gdy jego przebieg ma regularny charakter.
Im większe wahania występują w szeregu czasowym, tym większym błędem obarczona jest wartośd tego
miernika.
Interpretacja: O ile procent przeciętnie w całym badanym okresie poziom zjawiska zmieniał się (wzrastał lub
malał w zależności od znaku) z okresu na okres.
TG  (iG  1) 100
PRZEKSZTAŁCENIA INDEKSÓW INDYWIDUALNYCH
Zakres przekształceo
Zamiana podstawy
łaocuchowej na stałą
podstawę porównao dla
(t=3) = const.
Zamiana stałej podstawy
(t=3) =const. na inną
podstawę
(t=1) = const.
Zamiana stałej podstawy
(t=3) = const. na
łąncuchową podstawę
porównao
Zajęcia 4.
Przykładowy szereg czasowy 5-okresowy (t=1, 2, 3, 4, 5)
Indeksy łaocuchowe
Procedura zamiany Indeksy jednopodstawowe
1:[(y3/y2)*(y2/y1)]
y1/y3
y2/y1
1:(y3/ y2)
y2/y3
y3/y2
(y3/ y2): (y3/ y2)
1
y4/y3
y4/y3
y4/y3
y5/y4
(y5/ y4): (y4/ y3)
y5/y3
Procedura
zamiany
Indeksy jednopodstawowe
Indeksy jednopodstawowe
y1/y3
y2/y3
1
y4/y3
y5/y3
(y1/y3): (y1/y3)
(y2/y3): (y1/y3)
1: (y1/y3)
(y4/y3): (y1/y3)
(y5/y3): (y1/y3)
Indeksy jednopodstawowe
Procedura zamiany
y1/y3
y2/y3
1
y4/y3
y5/y3
(y2/y3): (y1/y3)
1: (y2/y3)
(y4/y3):1
(y5/y3): (y4/y3)
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
1
(y2/y1)
(y3/y1)
(y4/y1)
(y5/y1)
Indeksy łaocuchowe
y2/y1
y3/y2
y4/y3
y5/y4
Strona 4 z 6
ZASTOSOWANIE INDEKSÓW INDYWIDUALNYCH
W badaniach społeczno-ekonomicznych wykorzystuje się trzy główne rodzaje indeksów indywidualnych:
Indeksy cen, indeksy ilości, indeksy wartości. Indeksy te informują o zmianie (wzroście lub spadku) tych
wielkości w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego (bazowego lub poprzedniego)
Indywidualny indeks ilości
iq 
q1
q0
ip 
p1
p0
Indywidualny indeks ceny
Indywidualny indeks wartości
iw 
q1 p1 w1

 iq i p
q0 p0 wo
Gdzie:
w1 – wartośd j-tego produktu w momencie badanym,
w0 - wartośd j-tego produktu w momencie podstawowym,
p1 – cena jednostkowa j-tego produktu w momencie badanym,
p0 – cena jednostkowa j-tego produktu w momencie podstawowym,
q1 – ilośd (masa fizyczna) j-tego produktu w momencie badanym,
q0 – ilośd (masa fizyczna) j-tego produktu w momencie podstawowym.
INDEKSY ZESPOŁOWE
INDEKSY AGREGATOWE DLA WIELKOŚCI ABSOLUTNYCH
Służą do badania dynamiki całego zespołu zjawisk, zwykle niejednorodnych i bezpośrednio niesumowanych np.
wielkośd produkcji różnych produktów. Obrazują łączne zmiany zachodzące w czasie w całej zbiorowości.
Schemat obliczania indeksów zespołowych przedstawiono dla wielkości będących przedmiotem badao
ekonomicznych: cen, ilości i wartości.
Agregatowy indeks wartości
Służy do określenia łącznej dynamiki, w dwóch wyróżnionych okresach, wartości produktów w momencie
badanym w stosunku do podstawowego. Zmiany wartości wynikają zarówno ze zmian cen jak i liczby
produkowanych jednostek.
w
Iw 
 w1
j 1
m
w
j 1
0
w
q p
1

1
j 1
m
q p
0
0
j 1
Gdzie:
Zajęcia 4.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 5 z 6
w1 – wartośd j-tego produktu w momencie badanym,
w0 - wartośd j-tego produktu w momencie podstawowym,
p1 – cena jednostkowa j-tego produktu w momencie badanym,
p0 – cena jednostkowa j-tego produktu w momencie podstawowym,
q1 – ilośd (masa fizyczna) j-tego produktu w momencie badanym,
q0 – ilośd (masa fizyczna) j-tego produktu w momencie podstawowym.
W celu określenia wpływu wyłącznie cen lub wyłącznie wielkości produkcji (liczby produkowanych sztuk
określonych towarów) przeprowadza się procedurę standaryzacji.
Standaryzacja polega na przyjęciu jednego z czynników za stały w obu porównywalnych momentach. Wybór
okresu standaryzacji zależy od celu badania i posiadanych informacji statystycznych. Najczęściej
wykorzystywane są formuły standaryzacyjne Laspeyersa oraz Paaschego.
Poniżej przedstawiono przykład dla agregatowego indeksu ilości – wpływ zmiany ilości na poziom agregatu
(ustalamy ceny na jednym poziomie)
W przypadku agregatowego indeksu cen, przyjmujemy poziom ilości z jednego okresu.
Agregatowy indeks ilości – wpływ ilości, ceny stałe
FORMUŁA STANDARYZACYJNA LASPEYERSA
Stosowana gdy stały poziom cen ustala się na poziomie okresu podstawowego
w
q p
1
LI q 
0
j 1
m
q p
0
0
j 1
Informuje jak zmieni się przeciętna wartość agregatu pod wpływem zmian ilości, przy założeniu, że w okresie
badanym (1) i podstawowym (0) mamy ceny z okresu podstawowego.
FORMUŁA STANDARYZACYJNA PAASCHEGO
Stosowana gdy stały poziom czynnika ustala się na poziomie okresu badanego.
w
q p
1
PI q 
1
j 1
m
q p
0 1
j 1
Informuje jak zmieni się przeciętna wartość agregatu pod wpływem zmian ilości przy założeniu, że w obydwu
okresach mamy stałe ceny – jak w okresie badanym (1).
RÓWNOŚD INDEKSOWA DLA INDEKSÓW AGREGATOWYCH PAASCHEGO I LASPEYERSA
I w  LI q  PI p  PI q  LI p
INDEKSY AGREGATOWE DLA WIELKOŚCI WZGLĘDNYCH
Indeksy te są tworzone dla wielkości wyrażonych za pomocą dwóch innych (wskaźniki natężenia, wielkości
przeliczane na pewna wielkośd w celu dokonywania porównao pomiędzy zbiorowościami), np. płaca na jednego
pracownika w przedsiębiorstwie.
Wartośd indeksu zespołowego la wielkości względnych jest wypadkową działania dwóch czynników:
- zmian w poziomie cząstkowych wielkości stosunkowych
Zajęcia 4.
zmian w strukturze dwóch badanych czynników
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 6 z 6