z ∈ C : 0 ≥ Reiz ≥ 1

Zadanie 1. Narysować podane zbiory na płaszczyźnie
1. A = {z ∈ C : 0 ≥ Reiz ≥ 1}
z+1
2. B = {z ∈ C : | z−1
| < 1}
3. C = {z ∈ C : 0 < Arg z+i
z−i <
π
4}
Zadanie 2. Niech |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1. Wykazać, że liczby z1 , z2 , z3 sa˛ wierzchołkami trójkata
˛ równobocznego wtedy i
tylko wtedy, gdy z1 + z2 + z3 = 0.
Zadanie 3. Obliczyć granic˛e limn→∞
Arg(3i+ n1 )
n(|n+i|−n) .
Zadanie 4. Dla danej homografii h i zbioru A wyznaczyć obraz h(A) i narysować go na płaszczyźnie
1. h(z) =
z
z−5i ,
A = {z ∈ C : Rez ≥ 0}
2. h(z) =
3z−i
3+iz ,
A = {z ∈ C : |z| < 1}
3. h(z) =
iz+1
z+2i ,
A = {z ∈ C : |z + i| < 1}
4. h(z) =
z−2i
z+1 ,
A = {z ∈ C : Rez ≥ 2Imz}
5. h(z) =
z+i
z−2i ,
A = {z ∈ C : |z − i| < 1}
Zadanie 5. Rozwiazać
˛
równanie
√
1. sin z = 5
2. cos z = 2i
√
3. cos z = 3i
4. tan iz = 2 + i
5. tan πz = cot πz
Zadanie 6. Wykazać, że dla n ∈ N zbiór zn jest jednopunktowy.
1
Zadanie 7. Wykazać, że dla n ∈ N zbiór z n zawiera dokładnie n punktów, które sa˛ pierwiastkami n-tego stopnia z liczby
z.
Zadanie 8. Czy zbiór ii jest ograniczony?
√
Zadanie 9. Czy zbiór i
2
jest ograniczony?
Zadanie 10. Wyznaczyć zbiór (1 + i)1+i .
√
Zadanie 11. Wyznaczyć zbiór (i − 3)i .
1
Zadanie 12. Wyznaczyć zbiór {Arg w : w ∈ 1i+ 2 }.
Zadanie 13. Wyznaczyć kres dolny zbioru {|w| : w ∈ (−1)1+i }.
Zadanie 14. Wykazać, że wszystkie wartości pot˛egi zγ maja˛ ten sam moduł wtedy i tylko wtedy, gdy Imγ = 0.
Zadanie 15. Wykazać, że zγ ⊂ R wtedy i tylko wtedy, gdy 2Reγ ∈ Z oraz Imγ ln |z| + Reγ Arg z jest całkowita˛ wielokrotnościa˛ π.
Zadanie 16. Wykazać, że wszystkie wartości pot˛egi zγ maja˛ ten sam argument główny wtedy i tylko wtedy, gdy Reγ ∈ Z.
Zadanie 17. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których funkcja f ma pochodna˛
1. f (z) = Imz
2. f (z) = |z|
3. f (z) = |z + i|
4. f (z) = |2z + 1 + 3i|2
1
5. f (z) = z|z|
6. f (z) = (z + 1)|z|
7. f (z) = (z + i)|z|
8. f (z) = (z + 1)Im(z − i)
Zadanie 18. Rozwinać
˛ funkcj˛e f w szereg pot˛egowy w otoczeniu punktu z0 . Podać koło rozwini˛ecia.
1. f (z) =
1
z
2. f (z) =
iz−1
2i+z
3. f (z) =
2z−i
z2 −iz+2
4. f (z) =
z
z2 −(1+2i)z−1+i
z0 = 2 + 3i
z0 = 1
z0 = 1
z0 = 0
Zadanie 19. Rozwinać
˛ funkcj˛e f w szereg Laurenta w otoczeniu punktu z0 . Podać pierścień rozwini˛ecia.
1. f (z) =
z+1
z+2i
z0 = −2i
2. f (z) =
z+1
z2 +1
z0 = i
3. f (z) =
1
z2 +3iz−2
4. f (z) =
i+1
z2 +(1−i)z−i
z0 = i
5. f (z) =
i−1
z2 −(1+i)z+i
z0 = i
6. f (z) =
2z−i
z2 −iz+2
7. f (z) =
z5
1
ez
z0 = −i
z0 = −i
z0 = 0
π
Zadanie 20. Obliczyć długość krzywej o opisie parametrycznym γ(t) = ei sin t , gdzie t ∈ [1, 2].
Zadanie 21. Czy funkcja f (z) = 1z , gdzie z 6= 0 posiada funkcj˛e pierwotna?
˛
Zadanie 22. Obliczyć całk˛e krzywoliniowa.˛ γ jest opisem parametrycznym krzywej Γ.
R
z
1. [1,1+2i] z+1
dz
2.
R
1
[i,2+2i] z dz
π
gdzie γ(t) = e2it , t ∈ [0, 16
]
R
Zadanie 23. Obliczyć całk˛e krzywoliniowa˛ ∂P exp(sin z) cos2 zdz, gdzie ∂P jest dodatnio zorientowanym brzegiem pewnego
prostokata
˛ normalnego.
3.
R
Γ
Imzdz,
Zadanie 24. Niech G ⊂ C b˛edzie obszarem. Pokazać, że funkcja F : G → C jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy F 0 = 0.
Zadanie 25. Załóżmy, że funkcja f jest holomorficzna w obszarze G ⊂ C. Pokazać, że jeśli (Re f )2 = Im f , to funkcja f jest
stała.
Zadanie 26. Załóżmy, że funkcja f jest holomorficzna w obszarze G ⊂ C. Pokazać, że jeśli (Im f )3 = Re f , to funkcja f jest
stała.
R
Zadanie 27. Obliczyć całk˛e krzywoliniowa˛ ∂P z(z21−1) dz, gdzie ∂P jest dodatnio zorientowanym brzegiem pewnego prostokata
˛ normalnego P, takiego że 0 ∈ Int P, zaś 1, −1 ∈
/ P.
R sin z
Zadanie 28. Obliczyć całk˛e krzywoliniowa˛ ∂P z dz, gdzie ∂P jest dodatnio zorientowanym brzegiem prostokata
˛ normalnego P o wierzchołkach w punktach z1 = −1 − i, z2 = 1 − i, z3 = 1 + i, z4 = −1 + i.
R
ctg πz
˛ norZadanie 29. Obliczyć całk˛e krzywoliniowa˛ ∂P (4z−1)2 dz, gdzie ∂P jest dodatnio zorientowanym brzegiem prostokata
malnego P o wierzchołkach w punktach z1 = − 12 − i, z2 =
1
2
− i, z3 =
2
1
2
+ i, z4 = − 12 + i.