2. Prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite, wzór Bayesa

Wst¦p do statystycznej analizy danych
(3 inf, 2016/2017)
2. Prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite, wzór Bayesa
Dziewi¦¢dziesi¡t procent samolotów startuje o czasie. Osiemdziesi¡t procent
samolotów l¡duje o czasie. Siedemdziesi¡t pi¦¢ procent samolotów startuje i l¡duje
o czasie.
Zad. 2.1
a) Czekasz na samolot, który wystartowaª o czasie. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyl¡duje on punktualnie?
b) Samolot wyl¡dowaª punktualnie. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wystartowaª on o czasie?
c) Czy zdarzenia startu o czasie i punktualnego l¡dowania s¡ niezale»ne?
Trzej strzelcy strzelaj¡ (niezale»nie) do butelki. Butelka zostaje zbita jedn¡
kul¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zbiª j¡ pierwszy ze strzelców, skoro traaj¡
oni z prawdopodobie«stwami odpowiednio: 0.3, 0.8, 0.4.
Zad. 2.2
Gra polega na tym, »e spo±ród dwóch urn losujemy jedn¡, nast¦pnie wyci¡gamy
z niej kul¦. Gdy kula jest biaªa, wygrywamy. Przed rozpocz¦ciem gry dano nam 2
biaªe i 7 czarnych kul, które mamy wªo»y¢ do pustych urn, co najmniej jedn¡ kul¦
do ka»dej urny. Jak najkorzystniej rozªo»y¢ kule w urnach przed gr¡?
Zad. 2.3
Fabryki A, B, C produkuj¡ odpowiednio 50%, 20%, 30% ogólnej produkcji
»arówek. Udziaª braków produkcji wynosi: 5%, 2%, 3% produkcji danej fabryki.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e:
a) losowo wybrana »arówka jest sprawna,
b) je»eli »arówka jest sprawna, to pochodzi z fabryki A?
Zad. 2.4
W jednakowych zamkni¦tych pudeªkach mamy 9 peªnych talii kart i jedn¡ zdekompletowan¡, zawieraj¡c¡ 20 kart czarnych i tylko 4 czerwone. Z losowo wybranej
talii wylosowano kart¦ czarn¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e pochodzi ona
z talii zdekompletowanej?
Zad. 2.5
Przesyªamy ci¡g skªadaj¡cy si¦ z zer i jedynek. Zaªó»my, »e przy przesyªaniu 0
przekªamanie nast¦puje z prawdopodobie«stwem 52 , a przy przesyªaniu 1 w jednym
przypadku na dziesi¦¢. Wiedz¡c, »e otrzymano 0 oraz, »e stosunek liczby wysªanych
1 do 0 wynosi 5 do 7, obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e wysªano 0.
Zad. 2.6
1
Wst¦p do statystycznej analizy danych
(3 inf, 2016/2017)
2'. Prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite, wzór Bayesa zadania do samodzielnego rozwi¡zania
W spi»arni byªo n butelek soku, w tym k butelek soku malinowego. Kto±
wypiª jedn¡ butelk¦. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wyj¦ta teraz butelka b¦dzie
zawieraªa sok malinowy.
Zad. 2'.1
W komodach A, B , C s¡ po 2 szuady. W ka»dej szuadzie jest jedna moneta:
w komodzie A s¡ monety zªote, w C srebrne, a w B jest jedna zªota i jedna moneta
srebrna. Wylosowano komod¦, nast¦pnie szuad¦ i znaleziono tam monet¦ zªot¡.
Jaka jest szansa, »e w drugiej szuadzie te» jest moneta zªota ?
Zad. 2'.2
Do urny zawieraj¡cej n kul, w tym k biaªych, doªo»ono dwie kule ustalaj¡c
kolor ka»dej z nich przez rzut monet¡: orzeª oznaczaª biaª¡ kul¦, reszka - czarn¡.
Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wylosowana z tej urny jedna kula b¦dzie biaªa.
Zad. 2'.3
‘rednio, pi¦ciu m¦»czyzn na stu oraz dwie kobiety na tysi¡c s¡ daltonistami.
Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i m¦»czyzn wybrano losowo jedn¡ osob¦.
Zad. 2'.4
a) Jakie jest prowdopodobie«stwo tego, »e wybrana osoba jest daltonist¡?
b) Wylosowana osoba okazaªa si¦ daltonist¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
jest to m¦»czyzna?
Dane s¡ 3 urny zawieraj¡ce po 8 kul biaªych i 4 czarne ka»da, oraz 5 urn zawieraj¡cych po 4 kule biaªe i 6 kul czarnych ka»da. Z losowo wybranej urny wylosowano
kul¦.
Zad. 2'.5
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta jest biaªa?
b) Kula okazaªa si¦ biaªa. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta zostaªa
wylosowana z jednej z urn nale»¡cych do drugiej grupy?
Rzucono trzy sze±cienne kostki do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
cho¢by na jednej z nich wypadnie jedynka, je»eli wiadomo, »e na wszystkich trzech
kostkach byªy ró»ne wyniki?
Zad. 2'.6
2