Pochodna funkcji

Zadania z analizy matematycznej
kierunek: Informatyka, specjalno±¢: Informatyka ogólna
I rok SI◦ in»., grupa 1, rok akademicki 2015/2016
Pochodna funkcji
1. W oparciu o denicj¦, wyznaczy¢ pochodn¡ funkcji f w dowolnym punkcie x0 ∈ D(f )
a)f (x) = √
x,
b)f (x) = x2 ,
c)f (x) = xn , n ∈ N ,
d)f (x) = −4x2 + 6x + 3,
1
f) f (x) = cos x,
g)f (x) = 5x ,
h)f (x) = x+1
e)f (x) = 5 x,
.
2. Korzystaj¡c z denicji, zbada¢ czy istniej¡ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)f (x) = |x
b)f (x) = 6x + |x|, x0 =
− 32|, x0 = 2,
0, x(x−1)
x gdy x ≤ 3
gdy x ≤ 1
, x0 = 1,
c) f (x) =
, x0 = 3 , d) f (x) = √ 2
3x gdy x > 3
x − 1 gdy x > 1
e)f (x) = sin x · sgnx, x0 = 0, f)f (x) = |x2 − 4x|, x0 = 4.
3. Zbada¢, czy podane
funkcje maj¡p
pochodne niewªa±ciwe w punkcie x0 = 0:
√
a)f (x) = 7 − 3 x,
b)f (x) = | sin x|.
4. Korzystaj¡c z wzorów na pochodne funkcji elementarnych i podstawowych reguª ró»niczkowania,
obliczy¢ pochodn¡ funkcji f :
4
5
a) f (x) = 6x 3 + 18x 6 − 5x−3 , b) f (x) = (x2 + 1)arc tgx, c)f (x) = 2x x2 + x3 log3 x,
2
+1
ex
sin x+cos x
d) f (x) = xx−1
, e) f (x) = sin
f) f (x) = sin
,.
x
x−cos x
5. Korzystaj¡c z wzorów na pochodne funkcji elementarnych i podstawowych reguª ró»niczkowania - w
tym, reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onej- obliczy¢ pochodn¡ funkcji f :
√
a) f (x) = 9cos x , b)f (x) = ln ctgx, c) f (x) = arccos x, d) f (x) = arcsin(cos x),
e) f (x) = tgx3 − ctg3 x, f) f (x) = cos(ex )ecos x , g) f (x) = ln(sin(x3 + 1)),
x −e−x
h) f (x) = arc tg(ln x) + ln(arc tgx), i) f (x) = x4 arc tg x1
j) f (x) = eex +e
−x ,
q
q
p
√
sin 3x
k) f (x) = 3 1−sin
, l)f (x) = e2x+3 (x2 − x + 1), ª) f (x) = x + x + x,
3x
√
m) f (x) = (x + 2 1 − x2 )e2 arcsin x , n) f (x) = √43 arc tg[ √13 (2tg x2 + 1)] − x,
q
q
√
√
5
3
1
7
−2x
,
p)
f
(x)
=
ln
cos
arcsin
3
,
r)
f
(x)
=
arc
tg
cos ln3 x,
o) f (x) = cos
x
s) f (x) = logx 2, x > 0, x 6= 1, t) f (x) = logx cos x, x ∈ (0, π2 ) \ {1},
u) f (x) =
2
3sin x
.
2cos2 x
6. Korzystaj¡c ze wzoru na pochodn¡ logarytmiczn¡, wyznaczy¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji:
√
x
x
a) f (x) = (2x + 1)5x−11 , b) f (x) = xx , c) f (x) = (8x2 + 1)sin x , d) f (x) = xe , e) f (x) = x x.
x
7. Dane s¡ funkcje f (x) = tgh2 (e 3 ), gb (x) = arccos(1 − sin(2x)). Obliczy¢ a) f 0 (x), f 0 (2), b) g 0 (x),
g 0 ( 41 ).
2
8. Dane s¡ funkcje f (x) = ln−2 ln( x5 ), g(x) = (3 − x) x−1 . Obliczy¢ a) f 0 (x), f 0 (6), b) g 0 (x), g 0 (−1).
9. Dane s¡ funkcje f (x) =
g 0 (−1).
p
2
3
cos2 (2x) + 3, g(x) = (2 − x)− x−1 . Obliczy¢ a) f 0 (x), f 0 (− 23 ),
1
b) g 0 (x),
10. Napisa¢ równania stycznych do wykresów danych funkcji we wskazanych punktach:
a)f (x) = arcsin x2 , (1, f (1)),
b)f (x) = ln(x2 + e), (0, f (0)),
√
d)f (x) = 2x + 1, (3, f (3)).
c)f (x) = etgx , ( π4 , f ( π4 )),
11. Napisa¢ równanie stycznej do krzywej y = x4 − 2x + 5, która jest równolegªa do prostej y = 2x − 7.
12. Znale¹¢ styczn¡ do wykresu funkcji f (x) =
√
x, która tworzy k¡t
π
4
z dodatni¡ cz¦±ci¡ osi¡ OX .
13. Na krzywej y = x3 znale¹¢ punkt, w którym styczna jest równolegªa do ci¦ciwy ª¡cz¡cej punkty
(−1, −1), (2, 8).
14. Wykaza¢, »e krzywa y = | log2 x| nie ma stycznej w punkcie (1, 0).
15. Poda¢ równanie stycznej do krzywej y = (arctgx)ln x w punkcie (1, f (1)).
3
2
+11x+4
16. Dane s¡ funkcja f (x) = −3x −16x
oraz punkt x0 = −5. a) Rozªo»y¢ funkcj¦ f na wielomianow¡
x+6
cz¦±¢ caªkowit¡ i funkcj¦ wymiern¡ wªa±ciw¡. b) Obliczy¢ f 0 (x). c) Obliczy¢ f 0 (x0 ). d) Napisa¢
równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )). e) Napisa¢ równanie normalnej do
wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) (oba równania napisa¢ w postaci Ax + By + C = 0, gdzie
A, B, C s¡ liczbami caªkowitymi wzgl¦dnie pierwszymi; bezwzgl¦dna warto±¢ sumy wspóªczynników
A, B, C w równaniu prostej stycznej 55 za± w równaniu prostej normalnej 1700).
17. Obliczy¢ pochodn¡
funkcji f , korzystaj¡c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
√
x
a) f (x) = 6 + 9, b) f (x) = arcctgx, c) f (x) = arsinhx.
18. Stosuj¡c nierówno±¢ Lagrange'a, wykaza¢, »e
x
x+1
< ln(x + 1) < x dla x > 0.
19. W oparciu o warunek staªo±ci funkcji, wyprowadzi¢ nast¦puj¡ce wzory:
a) arcsinx + arccosx = π2 , b) sin2 x = 12 (1 − cos 2x).
2x
20. Wykaza¢, »e funkcja f okre±lona wzorem f (x) = 2arctgx + arcsin 1+x
2 jest staªa w przedziale [1, +∞).
Wyznaczy¢ t¦ staª¡.
21. Korzystaj¡c
z ró»niczki funkcji, obliczy¢ przybli»one warto±ci wyra»e«:
√
a) 3 7, 999, b) ln 2001
, c) arccos 0, 499, d) e0,04 .
2000
22. Poda¢ wzór na nt¡ pochodn¡ funkcji f okre±lonej wzorem :
a) f (x) = sin ax,
b) f (x) = eax , a ∈ R, c) f (x) = ln(1 + x),
d) f (x) = ax , a > 0, a 6= 1.
23. Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala obliczy¢ nast¦puj¡ce granice funkcji:
x
10
cos x
a) lim xx5−10x+9
,
b) lim x−arctgx
,
c) lim ln(2x+1) ,
d) lim lnlncos
, e) lim+ x ln x,
−5x+4
x2
3x
x→1
f)
ln x
lim 3 −x ,
x→1 ln x
j) lim
x→1
1
ln x
g)
1
− x−1
,
x→0
2 −3)
lim xln(x
2 +3x−10 ,
x→2
k) lim
x→+∞
h
h)
x→+∞
x
−x
lim e −e −2x ,
x→0 x−sin x
i
1
(x + 3)e x − x ,
x→0
i) lim+ arcsin(x − 1)ctg(x − 1),
x→1
1
l) lim x x ,
x→+∞
24. Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci funkcji f (x) =
2
x→0
4−x2
.
x2 −1
(1+ x1 )x
ex
x→+∞
ª) lim
2
.
25. Znale¹¢ przedziaªy monotoniczno±ci funkcji f :
a) f (x) = x3 − 30x2 + 225x, b) f (x) = 4x + x1 , c)f (x) =
√
e) f (x) = x ln2 x f) f (x) = lnxx , g) f (x) = x − 3 3 x.
x3
,
1−x2
d) f (x) = xe−3x ,
26. Dla jakich warto±ci parametrów a, b ∈ R funkcja f (x) = a ln x + bx2 + x ma ekstrema w punktach
x1 = 1, x2 = 2? Wykaza¢, »e dla wyznaczonych warto±ci a, b dana funkcja osi¡ga minimum w punkcie
x1 , za± maksimum w punkcie x2 .
x2
27. Znale¹¢ ekstrema funkcji f (x) = (x − 2)2 ex+ 2 .
28. Znale¹¢ ekstrema funkcji f :
2
a) f (x) = x3 − 4x2 , b) f (x) = x + x1 , c)f (x) = 2xx4−1 , d) f (x) = x21−x ,
e) f (x) = |x2 − 5x − 6| f) f (x) = x ln x, g) f (x) = 2arctgx − ln(1 + x2 ),
h) f (x) = x −
29. Wyznaczy¢ przedziaªy wypukªo±ci i wkl¦sªo±ci oraz punkty przegi¦cia funkcji f :
a) f (x) = esin x ,
b) f (x) = x2 e−x .
30. Okre±li¢ przedziaªy wypukªo±ci oraz punkty przegi¦cia funkcji f
1
a) f (x) = ln(1 + x2 ), b) f (x) = x − 32 x3 − 4 ln |x|, c)f (x) = 1−x
2 , d) f (x) =
arctgx
e) f (x) = e
.
31. Napisa¢ równanie stycznej do krzywej y =
ln x
x
ln
√x ,
x
w jej punkcie przegi¦cia.
32. Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji f i sporz¡dzi¢ jej wykres:
√
x
x3
a) f (x) = (x − 1)2 (x + 2), b) f (x) = x−1
, c)f (x) = x−1
, d) f (x) = 3 −
√
2
e) f (x) = x 1 − x .
4
x
−
(c)0 = 0
(xα )0 = αxα−1 , α ∈ R
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
1
(tgx)0 = cos2 x
(ctgx)0 = − sin12 x
(sinhx)0 = coshx
(coshx)0 = sinhx
(tghx)0 = cosh1 2 x
(ctghx)0 = − sinh1 2 x
(ax )0 = ax ln a
(ex )0 = ex
1
0
(loga x) = x ln a
(ln x)0 = x1
1
1
(arcsinx)0 = √1−x
(arccosx)0 = − √1−x
2
2
1
1
(arctgx)0 = 1+x
(arcctgx)0 = − 1+x
2
2
1
(ar sinhx)0 = √1+x
(ar coshx)0 = √x12 −1
2
1
1
(ar tghx)0 = 1−x
(ar ctghx)0 = 1−x
2 , |x| < 1
2 , |x| > 1
3
4
,
x2
√
x.