Matematyka finansowa - zestaw 1 - 19 X

Matematyka finansowa - zestaw 1 - 19 X-2 XI 2016
Wstępne pojęcia: oprocentowanie, kapitalizacja, dyskonto, stopa efektywna i
równoważna, aprecjacja kapitału.
Zadanie 1. Jaka jest wartość kapitału 2500PLN po 3 latach, jeśli stopa procentowa w
skali roku wynosi 12%, a kapitalizacja jest: a) roczna, b) kwartalna, c) miesięczna, d)
ciągła, e) prosta, przy dowolnie wybranym okresie kapitalizacji.
Zadanie 2. Na lokatę wpłacono 1000PLN. Oprocentowanie w skali roku wynosiło 50%,
a kapitalizacja była miesięczna. Po 2 latach i 2 miesiącach wypłacono 800 PLN. Obliczyć,
ile można było wypłacić z lokaty po następnych 3 latach i 3 miesiącach, jeśli kapitalizacja od momentu wypłaty była roczna, z oprocentowaniem 10%, a w wypadku zerwania
lokaty odsetki od czasu ostatniej kapitalizacji obliczano według modelu oprocentowania
prostego, z kapitalizacją dzienną i dzienną stopą procentową 0,01%.
Zadanie 3. Po jakim czasie kapitał wzrośnie 6-krotnie, jeżeli umieszczono go w banku z
2-miesięczną kapitalizacją odsetek i roczną stopą procentową 18% ?
Zadanie 4. Po jakim czasie kapitał wzrośnie 5-krotnie, jeżeli umieszczono go w banku, w
którym kapitalizacja przez pierwsze dwa lata była ciągła, a przez następne lata kwartalna?
Przez cały czas stopa procentowa wynosiła 16%.
Zadanie 5. Wpłacona do banku kwota 425 PLN utworzyła po 1 roku i 9 miesiącach
kapitał 559,27 PLN przy kapitalizacji kwartalnej. Po 2 latach od wpłaty zmieniono kapitalizację na ciągłą i roczną stopę procentową na 6%. Po 3 latach i 3 miesiącach wypłacono
z konta 10 PLN. Po jakim czasie wartość nominalna kapitału na koncie wyniesie 655,09
PLN?
Zadanie 6. W pewnym banku kapitał wzrósł 3-krotnie w ciągu 5 lat przy kapitalizacji
kwartalnej. Jaką kwotę należy wpłacić do banku, aby po 10 latach stan konta wyniósł
50000 jp, jeżeli po 7 latach i 9 miesiącach bank przeszedł na kapitalizację ciągłą przy tej
samej stopie procentowej?
Zadanie 7. Na konto na początku każdego z 3 lat trwania lokaty wpłacano odpowiednio:
5 jp, 45 jp, 30 jp. Na początku piątego roku wypłacono z lokaty 20 jp. Roczna stopa
procentowa wynosi 9 %. Ustalić stan oszczędności na koniec 6 roku (licząc od momentu
założenia konta) przy modelu kapitalizacji: a) prostej, b) złożonej rocznej, c) ciągłej.
Zadanie 8. Do banku wpłacono pewną kwotę. Po 2 latach i 3 miesiącach wypłacono
1500 PLN. Po następnym roku i 5 miesiącach stan konta wynosił 2400 PLN. Jaka była
wartość pierwszej wpłaty, jeśli przez pierwsze 2 lata obowiązywała kapitalizacja ciągła z
roczną stopą procentową 10%, a w następnym okresie kapitalizacja miesięczna z roczną
stopą procentową 12 %?
Zadanie 9. W pewnym banku obowiązuje stopa 3% kwartalnie, z kapitalizacją kwartalną.
a) Zakładając, że bank chce zachować zasadę „stopa kwartalna 3% na każdej lokacie”,
obliczyć stopę jaka powinna być podana przy każdej z oferowanych w poniższej tabelce
lokat z podanymi okresami kapitalizacji i okresami stopy oraz ile kapitału na takiej lokacie
się zgromadzi po roku, jeśli wpłacone zostanie 1000. Wyniki wpisz do tej tabeli:
OS∖ OK miesiąc
kwartał
rok ciągła
miesiąc
kwartał
3%; 1125,5088
rok
b) Bank chce zmienić podawane w ofercie okresy kapitalizacji i okresy stopy, ale w ten
sposób, by warunki oprocentowania wszystkich proponowanych lokat były równoważne.
Uzupełnić tabelkę wpisując odpowiednie wysokości stóp równoważnych lub efektywnych.
OS∖ OK miesiąc
kwartał
rok ciągła
miesiąc
kwartał
3%; 1125,5088
rok
1
2
Zadanie 10. W pewnym banku kapitał wzrasta trzykrotnie w ciągu 5 lat przy kapitalizacji kwartalnej. Bank zamierza przejść na kapitalizację półroczną. O ile powinien
podnieść stopę procentową, aby zachować tę samą atrakcyjność oprocentowania?
Zadanie 11. W pewnym banku obowiązuje kapitalizacja kwartalna z półroczną stopą
procentową 10%. Bank zamierza przejść na kapitalizację ciągłą. O ile powinien obniżyć
nominalną roczną stopę procentową, aby zachować tę samą atrakcyjność oprocentowania?
Jaką zysk miałby klient, wpłacając 1000 PLN na 18 miesięcy, gdyby nie została zmieniona
stopa procentowa?
Zadanie 12. W bankach A i B po upływie 6 lat z kwoty 8000 PLN uzyskano taki sam
kapitał. W banku A kapitalizacja była dwuletnia z nominalną roczną stopą procentową
26%, w banku B - ciągła. Wyznaczyć nominalną roczną stopę procentową dla banku B.
Zadanie 13. Bank A dokonuje kapitalizacji złożonej co 4 miesiące, bank B zaś, kapitalizacji prostej z roczną stopą procentową 30%. Wyznaczyć roczną stopę procentową dla
banku A tak, aby warunki oprocentowania w obu bankach były takie same w odniesieniu
do 3 lat. Przy tak wyznaczonej stopie, w którym banku klient powinien założyć lokatę,
jeśli planuje trzymać tam pieniądze przez 2 lata? A jeśli przez 4?
Zadanie 14. Na lokacie A obowiązuje kapitalizacja kwartalna złożona przy miesięcznej
stopie procentowej 0, 5%. Po jakim czasie wartość kapitału wzrośnie w tym banku 2krotnie? Czy lokata B o kapitalizacji miesięcznej i rocznej stopie procentowej 5, 9% jest
bardziej, czy mniej opłacalna dla oszczędzającego od lokaty A?
Zadanie 15. W banku A, w którym obowiązuje kapitalizacja kwartalna, w ciągu 3 lat
i 9 miesięcy kapitał wzrasta 2-krotnie. W banku B obowiązuje kapitalizacja ciągła z
roczną stopą, która zapewnia taką samą atrakcyjność oprocentowania jak w banku A.
Jaką kwotę należy wpłacić do banku B, by po 2 latach i 4 miesiącach uzyskać 10000 jp?
Zadanie 16. Na lokatę z kapitalizacją kwartalną wpłacono 10000 j.p. Po 2 latach
na koncie znajdowało się 12184,02898 j.p.. W tym momencie, zachowując opłacalność
lokaty (czyli zmieniając jej warunki na równoważne), zmieniono kapitalizację na ciągłą.
Po kolejnym pół roku zmieniono kapitalizację na półroczną, tym razem nie zmieniając
nominalnej rocznej stopy procentowej. Po jakim czasie od rozpoczęcia lokaty na koncie
znajdzie się 16000 j.p.?
Zadanie 17.* (reguła 70 lub reguła 72) Kapitał wpłacono na lokatę z kapitalizacją roczną
przy stopie procentowej rocznej 𝑟%. Po jakim mniej więcej czasie kapitał się podwoi?
Zadanie 18. Do banku wpłacano na początku 4 kolejnych lat: 100 PLN, 1000 PLN,
200 PLN i 300 PLN, a na początku piątego roku wypłacono 800 PLN. Zakładając, że
kapitalizacja była półroczna ze stopą procentową 10%, ile powinno zostać do banku
wpłacone na początku pierwszego roku, by bez dodatkowych wpłat i wypłat uzyskać ten
sam efekt długoterminowy?
Zadanie 19. Samochód można kupić od razu za 20000 PLN lub w 4 ratach spłacanych
co kwartał (pierwsza płatna za 3 miesiące w wysokości 6000 PLN, pozostałe równe) przy
kapitalizacji kwartalnej i nominalnej stopie procentowej rocznej równej 16%. Ile powinny
wynosić trzy ostatnie raty, by obie transakcje były równie opłacalne?
Zadanie 20. Dysponujemy kapitałem 1000 PLN. Można zainwestować go na rok w lokatę
(szczegółowe jej warunki w poszczególnych podpunktach) lub w pewną firmę. Właściciel
firmy oferuje nam dywidendy wypłacane w równej wysokości co pół roku.
a) Zakładamy, że kapitalizacja na lokacie jest miesięczna ze stopą procentową roczną
12%. Jakiej wysokości powinny być te dywidendy, by inwestycja w firmę była równie
opłacalna jak lokata? Załóżmy, że właściciel zaoferował nam właśnie takie dywidendy, ale
wybraliśmy lokatę. Po 3 miesiącach (czyli po pierwszej kapitalizacji) właściciel ponownie
oferuje nam te same dywidendy, wypłacane w tych samych momentach czasowych (czyli
od tego momentu za 3 i za 9 miesięcy) w zamian za prawa do lokaty (kapitał z odsetkami
po zakończeniu roku). Czy tym razem wartość tej propozycji jest większa, czy mniejsza
niż wartość lokaty?
3
b) Zakładamy, że kapitalizacja na lokacie jest prosta, miesięczna ze stopą procentową
roczną 12%. Jakiej wysokości powinny być te dywidendy, by inwestycja w firmę była
równie opłacalna jak lokata? Załóżmy, że właściciel zaoferował nam właśnie takie dywidendy, ale wybraliśmy lokatę. Po 3 miesiącach (czyli po pierwszej kapitalizacji) właściciel ponownie oferuje nam te same dywidendy, wypłacane w tych samych momentach
czasowych (czyli od tego momentu za 3 i za 9 miesięcy) w zamian za prawa do lokaty
(kapitał z odsetkami po zakończeniu roku). Czy tym razem wartość tej propozycji jest
większa, czy mniejsza niż wartość lokaty?
Zadanie 21. Dłużnik ma spłacić natychmiast 5000 PLN. Zgłosił się z prośbą o rozłożenie spłat na 5 rat miesięcznych w wysokości kolejno 900 PLN, 1000 PLN, 1050 PLN,
1100 PLN i 1200 PLN zaczynając od kolejnego miesiąca. Czy pożyczkodawca powinien
się zgodzić na tę ofertę, jeśli jego preferencja czasowa jest mierzona nominalną stopą
procentową 14% rocznie z kapitalizacją półroczną?
Zadanie 22. Która inwestycja jest lepsza: dająca zyski co 3 miesiące (pierwsza wypłata
za 3 miesiące) w wysokości 3000 PLN, czy dająca zysk 4000 PLN co 4 miesiące (pierwsza
wypłata za 4 miesiące)? Zakładamy nominalną stopę procentową 10% z kapitalizacją
ciągłą.
Zadanie 23. Na początku roku na fundusz emerytalny wpłacano w latach nieparzystych
5000 PLN, a w latach parzystych 12000PLN przy stopie procentowej rocznej 10% i kapitalizacji półrocznej. Jakiej wysokości wpłat powinno się dokonywać a) co rok, b) co
dwa lata, w latach nieparzystych, by kwota uzbierana na funduszu była taka sama jak w
wypadku pierwszego strumienia płatności.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski