Matematyka finansowa - zestaw 1 - 12 X

Matematyka finansowa - zestaw 1 - 12 X - 26 X 2016
Wstępne pojęcia: oprocentowanie, kapitalizacja, dyskonto, stopa efektywna i
równoważna, aprecjacja kapitału.
Zadanie 1. Jaka jest wartość kapitału 3000PLN po 2 latach, jeśli stopa procentowa w
skali roku wynosi 24%, a kapitalizacja jest: a) roczna, b) kwartalna, c) miesięczna, d)
ciągła, e) prosta, przy dowolnie wybranym okresie kapitalizacji.
Zadanie 2. Na lokatę wpłacono 1000PLN. Oprocentowanie w skali roku wynosiło 50%,
a kapitalizacja była miesięczna. Po 2 latach i 2 miesiącach wypłacono 800 PLN. Obliczyć,
ile można było wypłacić z lokaty po następnych 3 latach i 3 miesiącach, jeśli kapitalizacja od momentu wypłaty była roczna, z oprocentowaniem 10%, a w wypadku zerwania
lokaty odsetki od czasu ostatniej kapitalizacji obliczano według modelu oprocentowania
prostego, z kapitalizacją dzienną i dzienną stopą procentową 0,01%.
Zadanie 3. Po jakim czasie kapitał wzrośnie 6-krotnie, jeżeli umieszczono go w banku z
2-miesięczną kapitalizacją odsetek i roczną stopą procentową 18% ?
Zadanie 4. Po jakim czasie kapitał wzrośnie 5-krotnie, jeżeli umieszczono go w banku, w
którym kapitalizacja przez pierwsze dwa lata była kwartalna (złożona), a przez następne
lata ciągła? Przez cały czas stopa procentowa wynosiła 28%.
Zadanie 5. Wpłacona do banku kwota 347 PLN utworzyła po roku i 5 miesiącach kapitał
446,94 PLN przy kapitalizacji miesięcznej. Po 2 latach od wpłaty zmieniono kapitalizację
na ciągłą i roczną stopę procentową na 9%. Po jakim czasie wartość kapitału na koncie
wyniesie 567,73 PLN?
Zadanie 6. W pewnym banku kapitał wzrósł 2-krotnie w ciągu 4 lat przy kapitalizacji
półrocznej. Jaką kwotę należy wpłacić do banku, aby po 8 latach stan konta wyniósł
20000 jp, jeżeli po 5 latach i 3 miesiącach bank przeszedł na kapitalizację miesięczną przy
tej samej nominalnej stopie procentowej?
Zadanie 7. Na konto na początku każdego z 4 lat wpłacano odpowiednio: 20 jp, 40
jp, 15 jp, 20 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10 %. Ustalić stan oszczędności na
koniec 6 roku (licząc od momentu założenia konta) przy modelu kapitalizacji: a) prostej,
b) złożonej rocznej, c) ciągłej.
Zadanie 8. Do banku wpłacono pewną kwotę. Po 2 latach i 3 miesiącach wypłacono
1500 PLN. Po następnym roku i 5 miesiącach stan konta wynosił 2400 PLN. Jaka była
wartość pierwszej wpłaty, jeśli przez pierwsze 2 lata obowiązywała kapitalizacja ciągła z
roczną stopą procentową 10%, a w następnym okresie kapitalizacja miesięczna z roczną
stopą procentową 12 %?
Zadanie 9. W pewnym banku obowiązuje stopa 3% kwartalnie, z kapitalizacją kwartalną.
a) Zakładając, że bank chce zachować zasadę „stopa kwartalna 3% na każdej lokacie”,
obliczyć stopę jaka powinna być podana przy każdej z oferowanych w poniższej tabelce
lokat z podanymi okresami kapitalizacji i okresami stopy oraz ile kapitału na takiej lokacie
się zgromadzi po roku, jeśli wpłacone zostanie 1000. Wyniki wpisz do tej tabeli:
OS∖ OK miesiąc
kwartał
rok ciągła
miesiąc
kwartał
3%; 1125,5088
rok
b) Bank chce zmienić podawane w ofercie okresy kapitalizacji i okresy stopy, ale w ten
sposób, by warunki oprocentowania wszystkich proponowanych lokat były równoważne.
Uzupełnić tabelkę wpisując odpowiednie wysokości stóp równoważnych lub efektywnych.
OS∖ OK miesiąc
kwartał
rok ciągła
miesiąc
kwartał
3%; 1125,5088
rok
1
2
Zadanie 10. W pewnym banku kapitał wzrasta trzykrotnie w ciągu 18 kwartałów
przy kapitalizacji miesięcznej. Bank zamierza przejść na kapitalizację półroczną. O ile
powinien podnieść stopę procentową, aby zachować tę samą atrakcyjność oprocentowania?
Zadanie 11. W pewnym banku obowiązuje kapitalizacja ciągła z półroczną stopą procentową 10%. Bank zamierza przejść na kapitalizację kwartalną. O ile powinien podnieść stopę procentową, aby zachować tę samą atrakcyjność oprocentowania? Jaką stratę
poniósłby klient, wpłacając 1000 PLN na 18 miesięcy, gdyby nie została zmieniona stopa
procentowa?
Zadanie 12. W bankach A i B po upływie 6 lat z kwoty 8000 PLN uzyskano taki sam
kapitał. W banku A kapitalizacja była dwuletnia z nominalną roczną stopą procentową
26%, w banku B - ciągła. Wyznaczyć roczną stopę procentową dla banku B.
Zadanie 13. Bank A dokonuje kapitalizacji złożonej co 4 miesiące, bank B zaś, kapitalizacji prostej z roczną stopą procentową 30%. Wyznaczyć roczną stopę procentową dla
banku A tak, aby warunki oprocentowania w obu bankach były takie same w odniesieniu
do 3 lat. Przy tak wyznaczonej stopie, w którym banku klient powinien założyć lokatę,
jeśli planuje trzymać tam pieniądze przez 2 lata? A jeśli przez 4?
Zadanie 14. W banku A, w którym obowiązuje kapitalizacja półroczna, w ciągu 5 lat i
6 miesięcy kapitał wzrasta 5-krotnie. W banku B obowiązuje kapitalizacja miesięczna z
nominalną roczną stopą, która zapewnia taką samą atrakcyjność oprocentowania jak w
banku A. Jaką kwotę należy wpłacić do banku B, by po 2 latach i 4 miesiącach uzyskać
5000 jp?
Zadanie 15. Który bank oferuje atrakcyjniejsze warunki oprocentowania: bank A, w
którym przy kapitalizacji ciągłej, kapitał wzrósł 2,5 - krotnie w ciągu 3 lat i 9 miesięcy,
czy bank B, w którym kapitał wzrósł o 94 w ciągu 1,5 roku przy kapitalizacji kwartalnej?
Zadanie 16. Na lokatę z kapitalizacją kwartalną wpłacono 10000 j.p. Po 2 latach
na koncie znajdowało się 12184,02898 j.p.. W tym momencie, zachowując opłacalność
lokaty (czyli zmieniając jej warunki na równoważne), zmieniono kapitalizację na ciągłą.
Po kolejnym pół roku zmieniono kapitalizację na półroczną, tym razem nie zmieniając
nominalnej rocznej stopy procentowej. Po jakim czasie od rozpoczęcia lokaty na koncie
znajdzie się 16000 j.p.?
Zadanie 17.* (reguła 70 lub reguła 72) Kapitał wpłacono na lokatę z kapitalizacją roczną
przy stopie procentowej rocznej 𝑟%. Po jakim mniej więcej czasie kapitał się podwoi?
Zadanie 18. Dłużnik ma za 2 lata zwrócić do banku 40 jp, za 5 lat 10 jp, a za 6 lat
60 jp. Chce zamienić te spłaty na jedną, wpłacaną za 3 lata. Jaką kwotą powinien
wtedy dysponować by, zakładając kapitalizację złożoną półroczną, przy rocznej stopie
procentowej 20%, pojedyncza spłata była równoważna trzem wyjściowym?
Zadanie 19. Samochód można kupić od razu za 30000 PLN lub w 6 ratach spłacanych co
dwa miesiące (pierwsza płatna za 2 miesiące w wysokości 8000 PLN, druga za 4 miesiące w
wysokości 6000 PLN, pozostałe cztery równe) przy kapitalizacji miesięcznej i nominalnej
stopie procentowej rocznej równej 6%. Ile powinno wynosić cztery ostatnie raty, by obie
transakcje były równie opłacalne?
Zadanie 20. Dysponujemy kapitałem 1000 PLN. Można zainwestować go na rok w lokatę
(szczegółowe jej warunki w poszczególnych podpunktach) lub w pewną firmę. Właściciel
firmy oferuje nam dywidendy wypłacane w równej wysokości co pół roku.
a) Zakładamy, że kapitalizacja na lokacie jest złożona, kwartalna ze stopą procentową
roczną 10%. Jakiej wysokości powinny być te dywidendy, by inwestycja w firmę była
równie opłacalna jak lokata? Załóżmy, że właściciel zaoferował nam właśnie takie dywidendy, ale wybraliśmy lokatę. Po 3 miesiącach (czyli po pierwszej kapitalizacji) właściciel ponownie oferuje nam te same dywidendy, wypłacane w tych samych momentach
czasowych (czyli od tego momentu za 3 i za 9 miesięcy) w zamian za prawa do lokaty
3
(kapitał z odsetkami po zakończeniu roku). Czy tym razem wartość tej propozycji jest
większa, czy mniejsza niż wartość lokaty?
b) Zakładamy, że kapitalizacja na lokacie jest prosta, kwartalna ze stopą procentową
roczną 10%. Jakiej wysokości powinny być te dywidendy, by inwestycja w firmę była
równie opłacalna jak lokata? Załóżmy, że właściciel zaoferował nam właśnie takie dywidendy, ale wybraliśmy lokatę. Po 3 miesiącach (czyli po pierwszej kapitalizacji) właściciel ponownie oferuje nam te same dywidendy, wypłacane w tych samych momentach
czasowych (czyli od tego momentu za 3 i za 9 miesięcy) w zamian za prawa do lokaty
(kapitał z odsetkami po zakończeniu roku). Czy tym razem wartość tej propozycji jest
większa, czy mniejsza niż wartość lokaty?
Zadanie 21. Motocykl można kupić za 15000 PLN zapłacone natychmiast, w dwóch
ratach płaconych co rok (pierwsza za rok) w wysokości 9000 PLN albo w trzech ratach
płaconych co pół roku (pierwsza za pół roku) w wysokości 5500 PLN. Która oferta jest
najbardziej opłacalna, jeśli rozważamy kapitalizację kwartalną ze stopą procentową 12%?
Zadanie 22. Która inwestycja jest lepsza: dająca zyski co 4 miesiące (pierwsza wypłata
za 4 miesiące) w wysokości 2000 PLN, czy dająca zysk 3050 PLN co 6 miesięcy? Zakładamy nominalną stopę procentową 24% z kapitalizacją miesięczną.
Zadanie 23. Na początku roku na fundusz emerytalny wpłacano w latach nieparzystych
5000 PLN, a w latach parzystych 12000PLN przy stopie procentowej rocznej 10% i kapitalizacji półrocznej. Jakiej wysokości wpłat powinno się dokonywać a) co rok, b) co
dwa lata, w latach nieparzystych, by kwota uzbierana na funduszu była taka sama jak w
wypadku pierwszego strumienia płatności.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski