Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia
Transkrypt
Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia
Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia Temat 2: Prawdopodobieństwo warunkowe. Zmienna losowa. Gęstość i dystrybuanta zmiennej losowej. Zadania do rozwiązania: 1. W urnie znajduje się 10 kul w tym 7 kul białych oraz 3 czarne. Z urny losujemy dwukrotnie po jednej kuli. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obydwie wylosowane kule są białe. 2. Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy bez zwrotu k elementów, które tworzą liczbę L=C1C2C3. Zakładamy, że wszystkie możliwe do otrzymania w ten sposób liczby są jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba L < 444. 3. W kanale łączności nadawane są tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC z prawdopodobieństwami 0,4; 0,3; 0,3. W trakcie transmisji może dojść do zakłócenia losowego, które może powodować, że np. litera A zostanie odebrana jako B lub C. Prawdopodobieństwo transmisji poprawnej lub przekłamania znaku pokazane jest w tabeli. A B C A 0,8 0,1 0,1 B 0,1 0,8 0,1 C 0,1 0,1 0,8 a) Oblicz prawdopodobieństwo na wyjściu sygnałów: AAAA, ACAA, CCCC, ABCA b) Na wyjściu odebrano sygnał ACAA – oblicz prawdopodobieństwo, że został on nadany jako AAAA c) Na wyjściu odebrano sygnał AAAA – oblicz prawdopodobieństwo, że został on nadany również jako AAAA 4. W fabryce przeprowadzany jest test diagnostyczny mający na celu wykrycie wadliwych wyrobów. Test stosuje się do zbadania pojedynczych sztab wylosowanych z dużej partii tego wyrobu. Wiadomo, że przeciętnie 5% całej produkcji stanowią produkty wadliwe. Sprawdzono również, że jeżeli produkt jest wadliwy, to w 90% test wykazuje wadliwość (czyli wynik testu jest pozytywny). Jeżeli produkt jest wykonany prawidłowo to w 90% test nie wykazuje wadliwości. a) Wyznacz prawdopodobieństwo, że produkt jest wadliwy, jeżeli wynik testu był pozytywny? b) Jak zmieni się powyższe prawdopodobieństwo, jeżeli produkt będzie badany dwukrotnie i w obu przypadkach wyniki testu będą pozytywne? 5. Na ćwiczeniach Inżynierskie Zastosowania Statystyki przeprowadzono kolokwium. Niech X oznacza ocenę (dla uproszczenia skala czterostopniowa 2.0, 3.0, 4.0, 5.0) losowo wybranego studenta. Załóżmy, że stosunek ocen ma się jak 1 : 3 : 4 : 2. a. dlaczego X możemy traktować jako zmienną losową? b. wyznacz dla zmiennej losowej X funkcję prawdopodobieństwa i naszkicuj wykres, c. wyznacz dystrybuantę i naszkicuj jej wykres, d. oblicz prawdopodobieństwo P( X < 3,5) korzystając i. z funkcji prawdopodobieństwa, ii. z dystrybuanty (zaznaczając prawdopodobieństwo na rysunku), e. analogicznie oblicz prawdopodobieństwo P( 3 <= X < 4,5), f. na wykresie dystrybuanty podaj interpretację prawdopodobieństwa P(X=3). 6. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona w następujący sposób: IZS 2015, Temat 2, str. 1 x ,2 2,3 3,5 5, F(x) 0 0,4 0,5 1 Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej. 7. Rozpatrujemy funkcję określoną wzorem F ( x) A B arctan x dla x . Dobierz stałe A i B tak, żeby funkcja F(x) była dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz gęstość zmiennej losowej X. 8. Funkcja niezawodności urządzenia oznacza prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy urządzenia w ciągu czasu t. Często przyjmuje się, że czas X bezawaryjnej pracy urządzenia jest zmienną losową ciągłą o gęstości: 1 x exp dla x 0 f ( x) dla pozostalych x 0 Zakładając, że parametr 10 : a) oblicz prawdopodobieństwo P (5 <= X <= 10) b) wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X c) zinterpretuj obliczone prawdopodobieństwo przy pomocy wykresu gęstości i dystrybuanty (wystarczy szkic wykresu) IZS 2015, Temat 2, str. 2