przykładowy rozdział

4. Oprocentowanie wkładów terminowych, wartość przyszła
4.1. Zgodność okresu oprocentowanie i kapitalizacji
Matematyka finansowa uwzględnia w obliczeniach wpływ czasu; trzeba bowiem
porównywać wartość pieniądza w w różnych okresach.
W kolejnych rozdziałach będzie interesowała nas przyszła wartość pieniądza (Future
Value—FV). Czytelników, których nie zniechęciły trzy pierwsze rozdziały zapewniam, że
także w dalszej części nie wyjdziemy poza poziom matematyki ze szkoły średniej. Przy
wyborze odpowiedniego algorytmu obliczeń trzeba zdefiniować wszystkie wielkości w tej
samej chwili czasu lub dla tego samego przedziału czasu.
Nie należy przy tym uczyć się na pamięć żadnych wzorów oprócz (4.1), (4.2) i (5.1).
Trzeba jednak pamiętać, że błąd w obliczeniach lub wybór biednej koncepcji prowadzenia obliczeń kończy się stratą finansową, bankructwem z wszelkimi konsekwencjami tej sytuacji. Slowem życie codzienne oceni Państwa sukces lub porażkę.
Wierzę, że szczęście będzie nam sprzyjać.
Operacja rachunkowa, która nazwana jest oprocentowaniem pieniądza, polega na
obliczeniu jego wartości w przyszłości (Future Yalue — FV).
Operacja rachunkowa dyskontowania polega na obliczeniu jego wartości dla warunków
aktualnych, tzn. dzisiaj, w chwili wykonywania rachunku (Present Yalue — PV).
Proszę szczególnie uważnie przeczytać ten rozdział, gdyż będzie on stanowić podstawę do
dalszych rozważań, a „pieniądze umieją się odwdzięczyć tym, którzy umiejętnie się z nimi
obchodzą i potrafią z nimi więcej niż ci, którzy je posiadają..."
Oprocentowanie może być proste lub złożone. W pierwszym przypadku kapitalizowana
jest tylko wartość początkowa KQ, w drugim kapitalizacji podlega kapitał początkowy z
nagromadzonymi wcześniej odsetkami Z. Zawsze słuszna jest równość:
Kn = KQ + Z
Poniżej pokazujemy schemat, zgodnie z którym można napisać wzory końcowe na
kapitał Kn po n okresach oprocentowania. Podają one jak zmienia się kapitał przy
oprocentowaniu na końcu każdego z n okresów.
Kapitalizacja następuje w tym samym czasie co oprocentowanie, czyli okresy oprocentowania i kapitalizacji są zgodne.
Prosty schemat pokazany niżej ilustruje różnice w sposobie powstawania kapitału:
Jak widać różnica pojawia się po drugim okresie oprocentowania. Cieniowany
prostokącik podkreśla istotę różnicy oprocentowań. Wyrażenia te nazwiemy czynnikami
wartości przyszłej.
Zad. A
Czy lepiej skorzystać z miesięcznego skonta 8% przy uregulowaniu należności w ciągu
jednego tygodnia za auto kupione u sąsiada za 5000 zł, czy też wziąć kredyt bankowy
oprocentowany 40%?
Uwaga 7:
Oprocentowanie bez dodatkowych wyjaśnień odnosi się zawsze do roku.
Skonto oznacza premię dla odbiorcy, który płaci bezzwłocznie, mimo że ma prawo do odroczenia płatności. Upust, rabat, bonifikata to premie dla odbiorcy wynikające z ilości zakupionego
towaru.
Zad. B
Ile uzyskaliby Indianie (Algonkinowie) lokując aż do dzisiaj 24 otrzymane od Petera
Minuita za sprzedaż w 1626 roku Manhattanu (co jest faktem historycznym), na 2% przy
oprocentowaniu prostym i złożonym, a ile przy oprocentowaniu na 5%?
We wzorach (4.1) i (4.2) występują cztery wielkości, z których jedną można wyznaczyć,
jeśli są znane trzy pozostałe.
Najpierw poszukamy liczby okresów oraz wielkości stopy przy oprocentowaniu
prostym. Jako wyjściowy mamy wzór (4.1). Stąd otrzymujemy liczbę lat:
(4.3)
lub nieznaną stopę procentową:
(4.4)
Przy oprocentowaniu złożonym korzystamy ze wzoru (4.2):
Po wyciągnięciu pierwiastka n-tego stopnia i uporządkowaniu otrzymujemy:
(4.5)
Natomiast po obustronnym logarytmowaniu
mamy:
I ostatecznie wzór na nieznaną liczbę okresów (lat) ma postać:
(4.6)
Zad. C
Po jakim okresie kapitał podwoi się przy oprocentowaniu prostym, a po jakim przy
oprocentowaniu złożonym, jeśli stopa wynosi 12,5%?
Korzystając ze wzorów (4.3) oraz (4.6) otrzymamy: