Algebra liniowa z geometrią analityczną I
Transkrypt
Algebra liniowa z geometrią analityczną I
SYLABUS - Karta programu przedmiotu WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia Kierunek: MATEMATYKA Rok akad.: 2010/2011 Przedmiot podstawowy Przedmiot: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Rok studiów: Semestr: I 1 ECTS:11 Rodzaj zajęć: W Ć L Liczba godzin w semestrze: 45 45 -- L Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne Matematyka na poziome szkolnym zaawansowanym Założenia i cele przedmiotu Celą jest nauczyć studentów podstawowych metod algebraicznych i geometrycznych niezbędnych w analizie, równaniach różniczkowych, teorii prawdopodobieństwa itd., aktywnie stosowanych we współczesnych ekonomii, finansach, kryptografii, kodowaniu itd. Metody dydaktyczne Wykłady z kredą przy tablicę, ćwiczenia, konsultacje, kolokwium Forma i warunki zaliczenia przedmiotu: Ocena aktywnego udziału w zajęciach, pisemne stwierdzenie bieżącego przygotowania, kolokwium końcowe oraz uzyskanie zaliczenia z ćwiczeń TREŚCI PROGRAMOWE Wykłady: 1. Struktury algebraiczne Działania algebraiczne i ich własności, neutralność, odwrotność, grupy abelowe i niepremienne, prawa skracania i potęgowania. Grupy, podgrupy, grupy ilorazowe. Grupy przekształceń, grupy permutacji (cykle, transpozycji, transpozycji liczb sąsiednich, inwersje, parzystość, nieparzystość). Pierścienie, podpierścienie, ideały. Pierścień klas reszt modulo n. Ciała, podciała. Ciała przemienne i nieprzemienne. Ciało kwaternionów. Homomorfizmy, izomorfizmy. 2. Ciało liczb zespolonych Definicja ciała liczb zespolonych C, postać kanoniczna liczby zespolonej, sprzężenie, moduł i argument liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej, wzór de Moivre’a, pierwiastkowanie liczb zespolonych. 3. Pierścień wielomianów Dzielenie z resztą, algorytm Euklidesa, NWD, NWW. Dzielniki wielomianów, wielomiany nieprzywiedlne w ciele. Rozkład wielomianów w iloczyn czynników nieprzywiedlnych. Twierdzenie Bezouta, pierwiastki wielomianu, ich wielokrotność. Wzór Taylora, wzory Viete’a, schemat Hornera. Zasadnicze twierdzenie algebry. Wielomiany zespolone, wielomiany rzeczywiste. Ciało ułamków (funkcje wymierne, ułamki proste) 4. Przestrzenie liniowe Definicja I własności przestrzeni liniowych. Podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe. Kombinacja liniowa, liniowa zeleżność i liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Operacje na podprzestrzeniach (suma, przekrój, suma prosta). Wymiar sumy podprzestrzeni i wymiar przestrzeni ilorazowej. Izomorfizmy przestrzeni liniowych. 5. Macierze i odwzorowania liniowe Definicja macierzy, rodzaje, działania na macierzach. Przekształcenia liniowe, jego macierz, jądro, obraz, rząd. Operatory liniowe, endomorfizmy, izomorfizmy. Macierz przejścia i transformacja współrzędnych wektora przy zmianie bazy, transformacja macierzy odwzorowania liniowego przy zmianie bazy. Podobieństwo macierzy. 6. Wyznaczniki i układy równań liniowych Definicja wyznacznika, własności, minory, dopełnienia algebraiczne. Wyznacznik iloczynu macierzy. Rozwinięcie Laplace’a. Macierz odwrotna. Układy równań liniowych (jednorodne i niejednorodne). Układy Cramera. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Metoda eliminacji Gaussa. Ćwiczenia audytoryjne: 1. Struktury algebraiczne Badanie własności działań. Rozpoznawanie struktur algebraicznych. Własności permutacji. Podgrupy, podpierścienie, podciała. Rozpoznawanie homomorfizmów i izomorfizmów. Klasy reszt. 2. Ciało liczb zespolonych Rozwiązywanie równań, geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Wyznaczenie postaci kanonicznej, trygonometrycznej i wykładniczej liczby zespolonej. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych 3. Pierścień wielomianów Dzielenie z reszta, obliczanie NWD, NWW. Rozkładanie wielomianów na czynniki nieprzywiedlne. Zastosowanie twierdzenia Bezouta i zasadniczego twierdzenia algebry. 4. Przestrzenie liniowe Rozpoznawanie przestrzeni i podprzestrzeni. Badanie liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów. Wyznaczenia baz i wymiarów przestrzeni liniowych i ich podprzestrzeni. 5. Macierze i odwzorowania liniowe Działania na macierzach. Rozpoznawanie przekształceń liniowych, wyznaczenie ich macierzy, jądra, obrazu, rzędu. Obliczanie macierzy przejścia przy zmianie bazy i znajdowanie współrzędnych wektora w różnych bazach. 6. Wyznaczniki i układy równań liniowych Obliczanie wyznaczników, obliczanie rzędu macierzy. Odwracanie macierzy. Rozwiązywanie układów równań liniowych. Wykaz literatury podstawowej: [1] A. Piękosz, Algebra liniowa, Politechnika Krakowska, 2009 [2] J. Klukowski, I. Nabialek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 1999. [3] A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, cz. 1, 2. PWN, Warszawa 2004. [4] J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2001. [5] S. Przybylo, A. Slachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach. PWN, Warszawa 1998. Wykaz literatury uzupełniającej: [1] J. Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. UJ, Kraków 2004. [2] A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976. [3] F.Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1972 [4] J. Gancarzewicz, Arytmetyka, wyd. UJ, 2002 [5] P.Kajetanowicz, J. Wierzejewski, Algebra z geometrią analityczną, PWN 2008 Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot: prof. dr hab. Orest ARTEMOWICZ Zatwierdził: dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK