próbny egzamin maturalny z matematyki

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNY
Z M ATEMATYKI
Z ESTAW NR 72196
WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE
WWW. ZADANIA . INFO
POZIOM ROZSZERZONY
C ZAS PRACY: 180 MINUT
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Zadania zamkni˛ete
Z ADANIE 1 (1 PKT )
Wskaż nierówność, która opisuje sum˛e przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej.
31
-43
A) |6 − x | > 37
B) |6 + x | > 37
C) |6 − x | > 74
x
D) |12 + x | > 74
Z ADANIE 2 (1 PKT )
Zbiór punktów płaszczyzny, których współrz˛edne spełniaja˛ równanie ( x + 1)2 − y2 = 0, jest
A) suma˛ dwóch prostych
B) parabola˛
C) okr˛egiem
D) prosta˛
Z ADANIE 3 (1 PKT )
Wielomiany P( x ) = ( a + 1) x3 + x2 − b i R( x ) = (b − 1) x3 + x2 + 2a + 1 sa˛ równe. Zatem
liczba a + b
A) należy do zbioru h2, 3)
B) jest mniejsza od -2
C) należy do zbioru (−2, 0i
D) jest wi˛eksza od 3
Z ADANIE 4 (1 PKT )
(
Funkcja f ( x ) =
A) m = −1
x 2 −1
x −1
dla x 6= 1
jest funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ Wtedy
m
dla x = 1
B) m = 1
C) m = 2
D) nie istnieje takie m
Z ADANIE 5 (1 PKT )
Z talii 52 kart wylosowano jedna˛ kart˛e. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano
dam˛e jeżeli wiadomo, że wylosowana karta nie jest ani kierem ani królem?
1
1
3
3
A) 13
B) 12
C) 35
D) 37
2
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 6 (2 PKT )
Na zewnatrz
˛ kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkaty
˛ równoboczne AEB i
BFC. Uzasadnij, że trójkat
˛ DEF jest równoboczny.
C
D
F
A
B
E
3
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 7 (2 PKT )
W trójkacie
˛ kat
˛ mi˛edzy bokami o długościach 8 i 6 jest równy 120◦ . Jaka˛ długość ma trzeci
bok trójkata?
˛
4
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 8 (3 PKT )
Funkcja f określona jest wzorem
(
f (x) =
2x − 3
1
dla x < 2
dla 2 6 x 6 4
a) Uzupełnij tabel˛e:
x
f(x)
-3
3
0
b) Narysuj wykres funkcji f ( x ).
c) Podaj liczby całkowite x, spełniajace
˛ nierówność f ( x ) > −6.
5
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 9 (3 PKT )
Biegacz narciarski Borys wyruszył na tras˛e biegu o 10 minut później niż inny zawodnik,
Adam. Met˛e zawodów, po przebyciu 15–kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali
równocześnie. Okazało si˛e, że wartość średniej pr˛edkości na całej trasie w przypadku Borysa
była o 4,5 km/h wi˛eksza niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał
cała˛ tras˛e biegu.
6
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 10 (3 PKT )
Oblicz granic˛e lim √
n→+∞
1
√
√ .
n +5 n +1− n
7
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 11 (4 PKT )
3
x −1
Ze zbioru liczb naturalnych spełniajacych
˛
nierówność x−
2 − 3 < 0 losujemy dwie różne
liczby ( a, b). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: punkt o współrz˛ednych ( a, b) należy
do wykresu funkcji y = x + 4.
8
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 12 (4 PKT )
Dane sa˛ liczby wymierne a 6= 0 i b takie, że równanie ax3 + bx2 + cx + d = 0 ma dwa
pierwiastki wymierne. Wykaż, że c i d sa˛ liczbami wymiernymi.
9
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 13 (4 PKT )
Podstawa˛ ostrosłupa ABCDS jest prostokat
˛ ABCD o bokach długości | AB| = 7 i | BC | = 14.
Kraw˛edź CS jest prostopadła do podstawy. Najdłuższa kraw˛edź boczna tworzy z podstawa˛
kat
˛ 50◦ . Wykonaj rysunek pomocniczy tego ostrosłupa oraz oblicz jego obj˛etość.
10
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 14 (4 PKT )
Długości boków trójkata
˛ prostokatnego
˛
tworza˛ ciag
˛ arytmetyczny, w którym środkowy wyraz jest równy 8. Wyznacz długości boków trójkata,
˛ oblicz jego pole oraz promień okr˛egu
opisanego na tym trójkacie.
˛
11
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 15 (5 PKT )
Wyznacz zbiór wartości funkcji
√
f ( x ) = 2 − 2 3 sin x cos x − 3 sin2 x − cos2 x.
12
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 16 (5 PKT )
√
Na trójkacie
˛
równoramiennym ABC (| AC | = | BC |) o polu równym 3 3 opisano okrag,
˛
którego promień ma długość 2 cm. Oblicz długość wysokości CD tego trójkata.
˛
13
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 17 (6 PKT )
W graniastosłupie prawidłowym trójkatnym
˛
poprowadzono płaszczyzn˛e r wyznaczona˛ przez
wysokość dolnej podstawy i ten z wierzchołków górnej podstawy, że płaszczyzna r z płaszczyzna˛ podstawy graniastosłupa tworzy kat
˛ o mierze α 6= 90◦ . Pole przekroju graniastosłupa wyznaczonego przez płaszczyzn˛e r jest równe S. Oblicz obj˛etość graniastosłupa.
14
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
O DPOWIEDZI
DO ARKUSZA NR
1
B
2
A
3
C
4
C
72196
5
B
6. Uzasadnienie.
√
7. 2 37
8. c) {−1, 0, 1, 2, 3, 4}
9. 50 minut
10.
2
5
11.
1
14
12. Uzasadnienie.
13.
√
686 5
3
· tg 50◦
14. Boki: 6,8,10, pole: 24, promień: 5.
15. h−2, 2i
16. CD = 3
17. S sin α ·
q
8S√
cos α
3
Odpowiedzi to dla Ciebie za mało?
Na stronie
HTTP :// WWW. ZADANIA . INFO /72196
znajdziesz pełne rozwiazania
˛
wszystkich zadań!
15