i częściowe ich rozwiązania

Rozwiązania i wskazówki do zadań.
1. Nie robię dokładnego rysunku, ale macierz ujemnie ani półujemnie określona być nie
może. Półdodatnio na paraboli („idącej” w prawo a nie do góry) x = y 2 , z wyjątkiem
punktu (0, 0) (gdzie trzeba rozpatrzyć wszystkie minory główne, a nie tylko minory
kątowe). (czyli w nomenklaturze zespolonej — liczby 0) Dodatnio określona jest na
prawo od paraboli. Wszędzie indziej (też w 0) — nieokreślona)
2. Określoność sprawdzamy b. łatwo. Odpowiedź to: ujemnie dla a ∈ (−2, 2), półujemnie
dla a = −2 ∨ a = 2, nieokreślona
w pozostałych przypadkach. Wartości własne niestety
√
2
„paskudne”, tj. λ1,2 = −5± 29+4a ; wektory własne wylicza się jak zwykle łatwo, choć
wyniki okropne.
3. Tu najłatwiej rozwiązywać z definicji: A · va = a · va , gdzie va to wektor własny odpowiadający a. Odpowiedzi:
(a) 3a, 3b, 3c;
(b) a2 , b2 , c2 ;
(c) a − a−1 , b − b−1 , c − c−1 .
4. (a) lim bn = e;
(b) lim cn = −e−1 ;
(c) lim an nie istnieje, co od razu widać z (a) i (b).
5. Przypominam, że x jest parametrem...
(a) lim an = 3x;
(b) dla x > 0: lim bn = +∞, dla x < 0 wyrażenie nie ma sensu rzeczywistego, a dla
x = 0 lim bn = ln(10)
3 ;
(c) dla x 6= 0: lim cn = 3, dla x = 0 lim cn = 2;
(d) lim dn = e−
x+1
2
;
(e) lim en = x;
(f) lim fn = 0 dla dowolnego x.
6. (a) lim an = ( 52 , 31 );
(b) lim bn = (0, 1);
(c) lim cn = (2, 1);
(d) lim dn = (−∞, 48
5 ) (co jest de facto błędnym zapisem, bo granica nie istnieje).
7. (a) lim an = e2 ;
(b) lim bn = 1;
(c) lim cn = 2.
8. To zadanie jest dość trudne.(tj. na poziomie zadania z gwiazdką) Zwłaszcza biorąc pod
uwagę, że napisany ciąg nie odpowiada ulamkowi ;-). Ale korzystając ze wskazówki:
podciąg a2n jest rosnący, a podciąg a2n+1 jest malejący. Zatem obydwa mają granicę.
Chcemy jeszcze by te granice były równe; w tym celu trzeba wykazać, że ciąg an+1 − an
ma granicę równą 0. Dużo łatwiej napisać do czego zbiega ten ciąg. Ze wzoru wiemy
1
1
. Czyli wiedząc już, że nasz ciąg jest zbieżny, trzeba
przecież, że lim an+1 = lim 1+a
n
tylko znaleźć pierwiastek równania (dodatni, bo przecież widać, że nasza liczba jest
1
dodatnia) x = 1+x
. (co zrobi uczeń liceum)
9. Wszystkie szeregi oprócz (i), (n), (o) składają się wyłącznie z elementów dodatnich, czyli
są zbieżne ⇔ są zbieżne bezwględnie, więc nie będę tego pisał poniżej.
(a) zbieżny (np. z kryt. d’Alemberta);
(b) zbieżny (j.w.);
(c) zbieżny (np. z kryt. Cauchy’ego);
(d) zbieżny (d’A lub C);
(e) zbieżny (d’A);
(f) zbieżny (C);
(g) zbieżny (C);
(h) zbieżny (C);
(i) rozbieżny (nie spełniony warunek konieczny);
(j) rozbieżny (kryterium porównawcze z
P
1
ln(n) );
(k) zbieżny (kryt. o zagęszczaniu);
(l) zbieżny (j.w.);
1
(m) rozbieżny (asymptotyczne kryterium porównawcze z
n lub zwykłe kryterium
porównawcze z tym samym szeregiem + świadomość, że tg(x) > x dla x ∈ [0, π/2).)
P
(n) zbieżny warunkowo (kryt. Leibniza), nie jest zbieżny bezwględnie (np. kryt porówP 1
nawcze z szeregiem
ln(n) );
(o) zbieżny bezwzględnie (kryt. porównawcze z szeregiem
P
10. (a) zb. bezwględnie dla x ∈ (−1, 1), poza tym rozbieżny;
(b) zb. bezwg. dla x ∈ R; j.w.
(c) zb. tylko dla x = 3; j.w.
(d) zb. bezwg. dla x ∈ (−1, 1); j.w.
(e) zb. bezwg. dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞); j.w.
(f) zb. bezwg. dla x > 0; j.w.
(g) suma szeregu jest równa ln(1 + x), zbieżny dla x > −1.
11. Odpowiednie granice równają się:
(a) −2;
(b) −1/2;
√
(c) 3 2;
(d) 1;
(e) +∞;
(f) 3/2;
(g) 3;
(h) 2;
2
1
n3 ).
(i) 1;
(j) 5/8;
(k) 1/3;
(l) 2/π;
(m) 1;
(n) 0;
(o) 0;
(p) 1.
12. x ∈ (−1, 0) ∪ (4, +∞).
13. y =
3π
2
∨ y = π.
14. Wszędzie trzeba położyć wartość funkcji w zerze równą zero i wówczas funkcja jest
(a) ciągła, nieróżniczkowalna w 0;
(b) ciągła i różniczkowalna w 0;
(c) ciągła, nieróżniczkowalna w 0.
15. (a) 4 sin3 (x2 + x + 1) cos(x2 + x + 1)(2x + 1);
(b) −tg( x2 );
(c)
x−1
x2
1
x
;
√
(d)
√3 x ;
2 1−x3
(e) e2
ln |x|
ln(2)|x|ln(2)−1 .
16. (a) 3;
(b) 0, 1/7 (w x = 0 obie pochodne są równe +∞ a styczne to proste pionowe).
17. ...
18. minimum = 1/3, maksimum = 1/2. (należy skorzystać z wzoru na zamianę podstawy
logarytmu)
19. d = 5.
20. Składniki są równe, czyli podział na a/2 i a/2.
3